Таким образом, окончательно
если через V обозначить полное изменение функции
в промежутке
. Так же оценивается и коэффициент
Если две переменные величины а и
зависящие, скажем, от одной и той же независимой переменной, обладают тем свойством, что их отношение остается ограниченным:
то этот факт записывают следующим образом
Пользуясь этим обозначением, мы можем выразить доказанное свойство коэффициентов Фурье
функции с ограниченным изменением так:
Пусть теперь для функции
с периодом
существует
производная
которая в промежутке
имеет ограниченное изменение; тогда для коэффициентов Фурье функции
справедлива оценка:
где
есть полное изменение функции
в промежутке
Это сразу вытекает из сопоставления, доказанного только что с формулами (1а) и (16) п° 704.
Итак, на этот раз
Зная порядок коэффициентов Фурье, теперь нетрудно уже оценить и остаток ряда Фурье: при тех же предположениях, для остатка
ряда Фурье функции
имеем неравенство:
Действительно,
Таким образом, несколько более тяжелое ограничение (по сравнению с предыдущим п°), которое мы наложили на
производную функции, повлекло за собой улучшение оценки остатка
в числителе исчез
Замечание. Подчеркнем еще раз, что в рассуждениях настоящего и предшествующего пп° существенную роль играла периодичность самой функции
и ее производных. Если первоначально функция была задана лишь в промежутке
то нужно потребовать выполнения условий:
разумея здесь под производными односторонние производные. Лишь тогда будут обеспечены непрерывность и существование последовательных производных для периодически продолженной функции, а вместе с тем и справедливость установленных выше оценок.