707. Случай функции, имеющей k-ю производную с ограниченным изменением

Рассмотрим сначала функцию с периодом которая сама имеет в промежутке ограниченное изменение. Переходя к интегралам Стилтьеса и воспользовавшись формулой интегрирования по частям [677], представим коэффициент функции в виде:

Внеинтегральный член исчезает, что же касается последнего интеграла, то, оценивая его обычным для интеграла Стилтьеса образом [582, 2°], получим:

Таким образом, окончательно

если через V обозначить полное изменение функции в промежутке . Так же оценивается и коэффициент

Если две переменные величины а и зависящие, скажем, от одной и той же независимой переменной, обладают тем свойством, что их отношение остается ограниченным:

то этот факт записывают следующим образом

Пользуясь этим обозначением, мы можем выразить доказанное свойство коэффициентов Фурье функции с ограниченным изменением так:

Пусть теперь для функции с периодом существует производная которая в промежутке имеет ограниченное изменение; тогда для коэффициентов Фурье функции справедлива оценка:

где есть полное изменение функции в промежутке

Это сразу вытекает из сопоставления, доказанного только что с формулами (1а) и (16) п° 704.

Итак, на этот раз

Зная порядок коэффициентов Фурье, теперь нетрудно уже оценить и остаток ряда Фурье: при тех же предположениях, для остатка ряда Фурье функции имеем неравенство:

Действительно,

Таким образом, несколько более тяжелое ограничение (по сравнению с предыдущим п°), которое мы наложили на производную функции, повлекло за собой улучшение оценки остатка в числителе исчез

Замечание. Подчеркнем еще раз, что в рассуждениях настоящего и предшествующего пп° существенную роль играла периодичность самой функции и ее производных. Если первоначально функция была задана лишь в промежутке то нужно потребовать выполнения условий:

разумея здесь под производными односторонние производные. Лишь тогда будут обеспечены непрерывность и существование последовательных производных для периодически продолженной функции, а вместе с тем и справедливость установленных выше оценок.