551. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов.

Покажем теперь, как с помощью криволинейных интегралов (второго типа) можно вычислять площади плоских фигур.

Рассмотрим сначала (рис. 8) фигуру ограниченную отрезками и прямых, параллельных оси у (они в частных случаях могут стягиваться и в точку), и двумя кривыми и которые любой параллелью к оси у пересекаются каждая только в одной точке. Пусть явные уравнения кривых и будут

причем х изменяется в промежутке

Рис. 8.

Рассматривая площадь «криволинейной трапеции» как разность площадей двух «криволинейных трапеций» можем написать

С другой стороны, по формуле (7)

Поэтому

мы изменили знак перед вторым интегралом, но зато изменили и направление интегрирования. Если прибавить к правой части равенства интегралы

равные нулю (так как они взяты по отрезкам, параллельным оси ), то равенство не нарушится. В результате получим

причем контур пробегается в порядке букв, указанных под символом интеграла.

Если обозначить контур области (D) через (I), то символ по заключенному в п° 548 условию будет означать интеграл, взятый в положительном направлении. При правой ориентации осей, которая принята на рис. 8, это будет направление обхода, оставляющее область слева, в то время как направление оставляет эту область справа. Поэтому

и, следовательно,

Предположим теперь, что хотя фигура (D) ограничена контуром более сложного вида (который может даже состоять из нескольких отдельных кривых), но эту фигуру прямыми, параллельными оси у, можно разложить на конечное число частей рассмотренного типа (рис. 9). Каждая из этих частей будет иметь площадь, выражающуюся по формуле (9). Сложив все эти равенства, мы получим слева площадь всей фигуры (D), а справа сумму интегралов, распространенных на все частичные контуры. Эти интегралы, однако, приводятся к одному, взятому по общему контуру ибо интегралы по каждому из вспомогательных отрезков равны нулю. Таким образом, и в этом случае площадь выражается по формуле (9).

Рис. 9.

Для фигуры (рис. 10), ограниченной прямолинейными отрезками и параллельными оси х, и двумя кривыми

с помощью сходных рассуждений получается формула

Впрочем, она может быть выведена и непосредственно из формулы (9), если обменять ролями оси х и у. Знак при этом придется изменить именно потому, что, несмотря на изменение ролей координатных осей, положительное направление обхода все же осталось прежним.

Легко понять, что формула (10) будет справедлива и для более сложной фигуры, которая прямыми, параллельными оси х, разлагается на конечное число «криволинейных трапеций» второго типа.

Полученный результат на деле имеет уже вполне достаточную общность. Однако проверка в конкретных случаях возможности разложить предложенную фигуру на части упомянутых специальных типов представляется обременительной. Поэтому мы укажем и другое — тоже весьма общее, но легко проверяемое условие, при котором оказываются приложимыми одновременно обе формулы (9) и (10).

Рис. 10.

Именно, предположим, что область (D) ограничена произвольной кусочно-гладкой кривой . Так как эта область квадрируема [337], то можно построить входящую и выходящую многоугольные области и (В) так, чтобы было

где — наперед заданное положительное число [335]. При этом можно предположить также, что контуры всех этих областей попарно не имеют общих точек. Обозначим через 8 наименьшее расстояние между точками различных контуров [см. 336, сноска]. Если вписать в ломаную () так, чтобы ее звенья все были , то эта ломаная уже не может иметь общих точек с контурами многоугольников (А) и (В), так что ограниченный ею многоугольник (Д) содержит в себе (А) и сам содержится внутри (В). Отсюда

так что — при стремлении к нулю наибольшего из звеньев вписанной ломаной.

Теперь нетрудно убедиться, что к вычислению площади многоугольника приложимы как формула (9), так и формула (10), т. е.

(ибо прямыми, параллельными оси у или оси х, легко разложить этот многоугольник на трапеции того или другого типа). Если, опираясь на лемму предыдущего п° (см. замечания), перейти здесь к пределу, то и получим окончательно: площадь фигуры (D), ограниченной кусочно-гладкой кривой, выражается любой из названных формул.

Чаще всего, впрочем, для вычисления площади применяется другая, более симметричная, формула:

которая легко получается из формул (9) и (10) [ср. 339 (16)].

Замечание. Легко убедиться, что и наличие на кривой конечного числа особых точек не мешает на деле справедливости выведенных формул. Если выделить эти точки с помощью их окрестностей, то к остающейся части фигуры формулы приложимы. Затем нужно лишь перейти к пределу, предполагая диаметры упомянутых окрестностей стремящимися к нулю.