674. Объем n-мерного тела, n-кратный интеграл.

Наподобие того, как при определении простого, двойного, тройного интеграла, мы пользовались понятием длины отрезка, площади плоской фигуры, объема пространственного тела, в основе определения -кратного интеграла лежит понятие объема -мерной области. Для простейшей -мерной области — -мерного прямоугольного параллелепипеда

объемом называется произведение его измерений

Само собою ясно, что разуметь под объемом тела, составленного из конечного числа таких параллелепипедов. Элементарно можно показать, что объем не зависит от того, каким образом тело разложено на параллелепипеды.

Рассматривая такие «параллелепипедальные» тела, входящие в данное -мерное тело (V) и выходящие из него, можно обычным образом построить понятие объема V для тела (V) [ср. 340].

Мы будем иметь дело только с телами, для которых объем существует; он заведомо существует для тел, ограниченных гладкими или кусочно-гладкими поверхностями, в частности, для

простейших знакомых нам -мерных областей — -мерного симплекса

и -мерной сферы

ниже мы вычислим их объемы [650, 1) и 2)].

Пусть в области (V) задана функция переменных тогда, разлагая эту область на элементарные части и повторяя другие столь привычные уже нам операции придем к понятию -кратного интеграла

В случае непрерывной подинтегральной функции он наверное существует.

Вычисление такого интеграла приводится к вычислению интегралов низшей кратности, вплоть до простых. В случае, когда область интегрирования (V) представляет собою прямоугольный параллелепипед (1), имеет место формула, аналогичная формуле (10) п° 645:

Для областей более общего вида, характеризуемых неравенствами

применима формула, аналогичная формуле

Подобным же образом (для соответствующего вида областей, который в каждом случае нетрудно установить) имеют место и другие формулы, аналогичные формулам п° 646, где вычисление -кратного интеграла приводится к последовательному вычислению Интегралов низших кратностей, в сумме дающих .

Все доказывается совершенно так же, как для случаев или без привлечения каких бы то ни было новых идей, так что нет надобности на этом задерживаться. Без дальнейших пояснений очевидно, как определяются несобственные -кратные интегралы и как на них распространяются упомянутые выше формулы.

Замечание. Можно было бы для функции от переменных установить понятие и об интеграле, распространенном на -мерную поверхность [см. замечания к примерам 3) и 16) п° 676]. Ввиду сложности предмета, мы не можем здесь на этом останавливаться. Отметим лишь, что М. В. Остроградским — в обобщение формулы (4) п° 651 — было установлено соотношение, связывающее такой интеграл, взятый по замкнутой поверхности, с неким -кратным интегралом, распространенным на ограниченное ею тело.