666. Градиент.

Пусть задано скалярное поле . Вектор с проекциями на оси

называется градиентом величины (в соответствующей точке) и обозначается так; -

Это формальное определение имеет тот недостаток, что использует координатные оси и оставляет открытым вопрос о независимости понятия градиента от их выбора.

Чтобы убедиться в этой независимости, вспомним данное еще в первом томе [184] определение производной от функции по заданному направлению которая выражает скорость возрастания функции по направлению Мы имели там формулу

где суть направляющие косинусы направления если через X обозначить единичный вектор, проведенный в этом направлении, то ее можно переписать и так:

Наибольшего значения эта производная, очевидно, достигает в том случае, когда направление совпадает с направлением градиента, причем это наибольшее значение равно

Это приводит нас к такому определению градиентом скалярной величины в данной точке называется вектор, который по численному значению и по направлению характеризует наибольшую скорость возрастания величины Здесь уже координатная система не упоминается вовсе.

Легко усмотреть, что направление градиента совпадает с направлением нормали к поверхности уровня проходящей через данную точку.

Итак, скалярное поле порождает векторное поле градиента

Гамильтон (W. R. Hamilton) ввел в рассмотрение символический векторе проекциями

на оси координат, который он назвал «наблой» и обозначил через V. Пользуясь этим обозначением, можно написать, что

Действительно, если упомянутый «вектор» формально «умножить» на скаляр то и получится вектор с проекциями

Примеры. 1) Обозначая через радиус-вектор соединяющий некоторую постоянную точку О с переменной точки М пространства, а через — его длину, положим

где — какая-нибудь скалярная функция от положительного скалярного аргумента имеющая производную постоянного знака. Поверхностями уровня, очевидно, будут сферы радиуса с центром в О, так что направление градиента совпадает с радиальным или прямо противоположно ему, смотря по тому, будет ли или Легко видеть, что

В частности,

Если поместить в точке О массу и рассмотреть поле ньютоновского притяжения, то его напряжение в точке М будет

и, таким образом,

Вопрос о том, может ли данное векторное поле быть рассматриваемо как поле градиента для некоторой скалярной величины, имеет большую важность. По существу он для нас не нов; мы вернемся к нему ниже [670].

2) Рассмотрим поле температуры Взяв элемент поверхности с определенным образом направленной нормалью подсчитаем количество тепла, протекшего через этот элемент в направлении за бесконечно малый промежуток времени Тепло течет от более нагретых частей тела или среды к менее нагретым, и притом тем быстрее, чем быстрее убывает температура. Обычно принимают, что упомянутое выше элементарное количество тепла пропорционально и, наконец, Обозначая через коэффициент пропорциональности («коэффициент внутренней теплопроводности» для данного места), можно написать

в согласии со сказанным выше количество тепла оказывается положительным именно в том случае, когда отрицательно, т. е. когда в направлении температура убывает.

Если ввести так называемый вектор потока тепла

то выражение для можно переписать короче: