631. Сведение к обыкновенному двойному интегралу.

Ограничимся случаем простой незамкнутой гладкой поверхности без кратных точек.

Какова бы ни была функция определенная в точках поверхности и ограниченная:

имеет место равенство

в предположении существования одного из этих интегралов (что влечет за собой и существование другого).

Таким образом, для сведения поверхностного интеграла первого типа к обыкновенному двойному нужно лишь заменить координаты х, у, z их выражениями через параметры, а элемент площади — его выражением в криволинейных координатах. Обратимся к доказательству высказанного утверждения.

Как уже отмечалось, разложению поверхности на части с помощью кусочно-гладких кривых отвечает подобное же разложение области , и обратно. Точно так же, если к нулю стремятся диаметры частей (5), то это справедливо и по отношению к диаметрам частей , и обратно.

Разложим же соответственным образом поверхность на части а область на части выберем в каждой части по точке а в части — по точке которые также отвечали бы одна другой, так что

Составим теперь интегральную сумму для интеграла (1):

По общей формуле (3*) п° 626 будет

Применив же теорему о среднем, получим

где есть некоторая точка области

С помощью этого выражения для и вспоминая (4), мы можем переписать сумму а так:

В этом виде она напоминает интегральную сумму для второго из интегралов (3):

Различие между суммами а и а заключается в том, что в последней и сложная функция и корень всякий раз вычисляются для одной и той же (произвольно взятой) точки а в первой — функция берется в точке а выражение в точке (которая называется теоремой о среднем и не произвольна).

Рассмотрим разность между обеими суммами:

Пусть — произвольно малое число. В силу (равномерной) непрерывности функции при достаточно малых диаметрах областей будет

Учитывая (2), легко приходим к оценке

так что

Отсюда ясно, что из существования предела для одной из этих сумм следует существование равного ему предела и для другой. Этим и доказано наше утверждение.

В частности, двойной интеграл справа в (3), а значит и поверхностный интеграл слева, существует в предположении непрерывности функции вдоль поверхности

Если поверхность задана явным уравнением:

то формула (3) принимает вид

где (D) означает проекцию поверхности на плоскость

Так как как обычно, есть угол между нормалью к поверхности и осью то формулу (5) можно написать и так:

Мы предполагали до сих пор поверхность на которую был распространен интеграл, гладкой и незамкнутой. Наши результаты легко распространяются и на случай кусочно-гладкой поверхности, как незамкнутой, так и замкнутой.