657. Выражение объема в криволинейных координатах.

Возвращаясь к предположениям и обозначениям п° 655, поставим себе задачей выразить объем (ограниченного) тела (D) в пространстве тройным интегралом, распространенным на соответствующее тело в пространстве

Искомый объем выражается прежде всего поверхностным интегралом второго типа [см. 613 (14)]:

распространенным на внешнюю сторону поверхности Отсюда постараемся перейти к обыкновенному двойному интегралу.

Будем исходить из параметрических уравнений (3) поверхности изменяются в области (Е) на плоскости . Тогда уравнения (4) выразят, очевидно, поверхность .

Полагая

по формуле (8) п° 636 имеем:

При этом интеграл берется со знаком плюс, если ориентация поверхности связанная с рассмотрением внешней ее стороны, соответствует ориентации плоскости что всегда можно предположить [620, 621].

Так как х, у зависят от и, через посредство переменных 7], С, то, по известному свойству функциональных определителей, [204, (6)]:

Подставляя выражение С в полученный выше интеграл, найдем:

Сопоставим этот интеграл с поверхностным интегралом второго типа, распространенным на внешнюю сторону поверхности :

Если его преобразовать, исходя из параметрических уравнений (3), к обыкновенному двойному интегралу, по формуле, аналогичной формуле (10) п° 636, то придем как раз к интегралу (4). Единственное различие между этими интегралами может заключаться лишь в знаке: если ориентация плоскости соответствует ориентации

поверхности (2), связанной с рассмотрением внешней ее стороны, интегралы равны, в противном же случае они разнятся знаками.

Наконец, от интеграла (7) по формуле Остроградского можно перейти к тройному интегралу по области :

Подинтегральное выражение равно:

Сумма, стоящая здесь в первой строке, равна якобиану:

в чем легко убедиться, разлагая этот определитель по элементам последней строки; сумма же в квадратных скобках, как показывает непосредственное вычисление, равна нулю

Таким образом, приходим к формуле:

Если вспомнить, что по предположению якобиан сохраняет знак, который он сообщает и интегралу, то станет ясно (так как мы здесь считаем что знак перед интегралом должен совпасть со

знаком якобиана. Это дает нам право переписать полученный результат в окончательной форме:

или, обозначая якобиан для краткости через

Подинтегральное выражение

обычно называют элементом объема в криволинейных координатах.