Искомый объем выражается прежде всего поверхностным интегралом второго типа [см. 613 (14)]:
распространенным на внешнюю сторону поверхности 
Отсюда постараемся перейти к обыкновенному двойному интегралу.
Будем исходить из параметрических уравнений (3) поверхности 
изменяются в области (Е) на плоскости 
. Тогда уравнения (4) выразят, очевидно, поверхность 
.
Полагая
по формуле (8) п° 636 имеем:
При этом интеграл берется со знаком плюс, если ориентация поверхности 
связанная с рассмотрением внешней ее стороны, соответствует ориентации плоскости 
что всегда можно предположить [620, 621].
Так как х, у зависят от и, 
через посредство переменных 7], С, то, по известному свойству функциональных определителей, [204, (6)]:
Подставляя выражение С в полученный выше интеграл, найдем:
Сопоставим этот интеграл с поверхностным интегралом второго типа, распространенным на внешнюю сторону поверхности 
:
Если его преобразовать, исходя из параметрических уравнений (3), к обыкновенному двойному интегралу, по формуле, аналогичной формуле (10) п° 636, то придем как раз к интегралу (4). Единственное различие между этими интегралами может заключаться лишь в знаке: если ориентация плоскости 
соответствует ориентации
поверхности (2), связанной с рассмотрением внешней ее стороны, 
интегралы равны, в противном же случае они разнятся знаками.
Наконец, от интеграла (7) по формуле Остроградского можно перейти к тройному интегралу по области 
:
Подинтегральное выражение равно:
Сумма, стоящая здесь в первой строке, равна якобиану:
в чем легко убедиться, разлагая этот определитель по элементам последней строки; сумма же в квадратных скобках, как показывает непосредственное вычисление, равна нулю 
Таким образом, приходим к формуле:
Если вспомнить, что по предположению якобиан сохраняет знак, который он сообщает и интегралу, то станет ясно (так как мы здесь считаем 
что знак перед интегралом должен совпасть со
знаком якобиана. Это дает нам право переписать полученный результат в окончательной форме:
или, обозначая якобиан для краткости через 
Подинтегральное выражение
обычно называют элементом объема в криволинейных координатах.
тройным интегралом, распространенным на соответствующее тело 
в пространстве 
