§ 3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути

555. Постановка задачи, связь с вопросом о точном дифференциале.

Пусть в некоторой связной области заданы две непрерывные функции

Рассмотрим криволинейный интеграл второго типа

Здесь А и В — какие-нибудь две точки из области (D), а — произвольная соединяющая их кусочно-гладкая кривая, которая целиком лежит в этой области.

Основная задача настоящего параграфа состоит в выяснении условий, при которых величина этого интеграла оказывается не зависящей от формы пути т. е. однозначно определяется начальной и конечной точками А и В, где бы эти точки не лежали.

Поведение интеграла (1) определяется свойствами дифференциального выражения

стоящего под знаком интеграла. Напомним, что мы уже имели дело с подобного рода выражением, когда речь шла о дифференцируемой функции от двух переменных и о (полном) дифференциале ее [179]

которое отождествляется с выражением (2) при

Однако далеко не каждое выражение вида (2) есть «точный дифференциал», т. е. не для каждого такого выражения существует «первообразная функция» для которой это выражение служит (полным) дифференциалом. И вот оказывается, что интеграл (1) не зависит от пути именно в тех случаях, когда его подинтегральное выражение есть точный дифференциал! Сформулируем это фундаментальной важности утверждение в виде теоремы, доказательству которой будут посвящены ближайшие два пп°.

Теорема 1. Для того чтобы криволинейный интеграл (1) не зависел от формы пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальное выражение (2) было в рассматриваемой области дифференциалом от некоторой (однозначной) функции двух переменных.