549. Примеры.

1) Найти интеграл если (К) есть отрезок параболы от точки с абсциссой до точки с абсциссой

Решение. Так как кривая интегрирования задана явным уравнением, то применим формулу (7); мы получим

2) Найти интеграл где (К) означает ту же кривую, что и выше.

Решение. Здесь следует воспользоваться формулой (8). Заметив, что из уравнения кривой и что пределы изменения у суть 0 и 4, будем иметь

Рис. 7.

3) Вычислить значение криволинейного интеграла

взятого по пути соединяющему точки если путь есть: (а) прямая парабола , (в) парабола кубическая парабола (рис. 7).

Решение. (а) Так как то

4) Вычислить криволинейный интеграл

при тех же путях интегрирования.

Ответ

5) Найти криволинейный интеграл

если в качестве пути интегрирования берется одна из следующих линий, соединяющих точки и (см. рис. 7): (а) прямолинейный отрезок ломаная состоящая отрезка оси и отрезка прямой (в) ломаная состоящая из отрезка оси и отрезка прямой

Решение, (а) Так как то

(б) В этом случае естественно разбить путь интегрирования на два отрезка:

Вдоль имеем: так что

Вдоль будет: поэтому

Таким образом, окончательно

(в) Аналогично предыдущему найдем (так как интеграл вдоль отрезка равен нулю):

6) То же для интеграла

Ответ. Во всех случаях

Замечание. Читатель, вероятно, уже обратил внимание на различие между результатами упражнений 3) и 6), с одной стороны, и 4) и 5) — с другой. Величины интегралов, рассмотренных в 3) и 6), оказались не зависящими от линии, соединяющей начальную и конечную точки. Напротив, в примерах 4), 5) мы столкнулись с интегралами, значения которых зависят от того, какой линией соединены начальная и конечная точки. Ниже [§ 3] мы займемся этим вопросом специально и выясним его важность.

7) Вычислить интеграл

где (С) означает верхнюю половину эллипса пробегаемую против часовой стрелки.

Решение. Воспользуемся параметрическим представлением эллипса: изменяется здесь от 0 до Подставляя вместо х и у их выражения через t и заменяя через получим [по формуле (5)]

8) Вычислить интеграл

где есть окружность радиуса 1 с центром (а) в начале координат или в точке (1, 1).

Решение, (а) Исходя из параметрических уравнений где меняется от 0 до по формуле (5) будем иметь

Аналогично с помощью параметрического представления

получим

9) Найти значение интеграла

где (К) есть окружность

Указание. Ср. 339. 14). Ответ.

10) Вычислить интеграл

если (А) есть отрезок циклоиды

от точки точки

Решение.

И) Вычислить интеграл

если (К) есть часть астроиды

от точки до точки В (0, а).

Решение.