624. Определение площади кривой поверхности.

Все сказанное приводит к мысли наперед потребовать от вписанной в данную кривую поверхность многогранной поверхности не только того, чтобы диаметры ее граней стремились к нулю, но и того, чтобы расположение этих граней в пространстве безгранично приближалось к расположению касательных плоскостей к поверхности.

Однако полное осуществление этой мысли далеко не просто, и мы вынуждены от него отказаться [ср. п° 627]. Мы дадим определение понятия площадь кривой поверхности, основанное на другой идее, впрочем, тоже представляющейся вполне естественной.

Мы будем рассматривать. незамкнутую гладкую поверхность ограниченную кусочно-гладким контуром Представим, себе эту поверхность разложенной с помощью сети кусочно-гладких кривых на части

и в каждой части произвольно выберем по точке . Спроектировав ортогонально элемент на касательную плоскость к поверхности в точке мы получим в проекции плоскую фигуру с площадью

Назовем площадью поверхности предел суммы этих площадей при условии, что диаметры всех элементов стремятся к нулю.

Если через А обозначить наибольший из упомянутых диаметров, то можно написать

Читатель легко восстановит точную характеристику этого предельного процесса как на «языке так и на «языке последовательностей».

Поверхность, имеющая площадь, называется квадрируемой.