709. Случай функции, заданной в промежутке

Как мы знаем, если функция задана лишь от 0 до то при соблюдении надлежащих условий ее можно разлагать в этом промежутке как в ряд по косинусам

так и в ряд по синусам

[689]. Такого рода разложения чаще всего встречаются на практике. Результаты предыдущего п° могут быть приложены и к рассматриваемому случаю, если представить себе функцию продолженной и на промежуток четным образом — для получения ряда по косинусам или нечетным образом — для получения ряда по синусам.

Пусть точками промежутка где функция и ее производные до включительно имеют скачки, будут

а сами величины скачков попрежнему обозначены через

В случае продолжения функции четным образом скачки в точках воспроизводятся и в точках — но с обратными знаками, при продолжении же функции нечетным образом скачки воспроизводятся в точках — с сохранением знаков. Далее, для четной функции

для нечетной же функции скачки

вообще могут быть отличными от нуля. Наконец, отметим еще, что при дифференцировании четная функция переходит в нечетную, а нечетная — в четную. Если учесть все эти замечания, то для коэффициентов разложения нашей функции, соответственно, по косинусам или

по синусам получатся формулы вида (20) и (21), но с такими значениями для

В связи с этими формулами сделаем следующее важное замечание. Пусть функция непрерывна во всем промежутке вместе со своими производными до порядка включительно; кроме того, пусть существует и производная и имеет в этом промежутке ограниченное изменение. Тем не менее, вообще говоря, нельзя утверждать относительно коэффициентов разложений (22) и (23), что они будут порядка [ср. 707 и формулы Действительно, хотя все суммы А в этом случае будут нулями, этого нельзя сказать про суммы

Продолжение функции нечетным образом искусственно создает разрыв при или нарушает периодичность у самой функции и ее производных четного порядка, а продолжение четным образом делает то же с производными нечетного порядка!

Поэтому, если требуется разложить упомянутую функцию в промежутке в быстро сходящийся ряд, с полным использованием дифференциальных свойств функции, целесообразно продолжить ее на промежуток с помощью многочлена степени определяемого из условий

[Построить такой многочлен можно, например, по способу, указанному в п° 257.] Таким путем мы сохраним дифференциальные свойства функции для всего промежутка .

Пусть для 0 к, скажем, . Для того чтобы осуществить разложение этой функции с коэффициентами порядка мы продолжим ее с помощью многочлена

Если для продолженной таким образом функции составить обычный ряд Фурье, то для функции в промежутке и получится искомое быстро сходящееся разложение:

Изложенный здесь прием указан А. С. Малиевым,