709. Случай функции, заданной в промежутке
Как мы знаем, если функция
задана лишь от 0 до
то при соблюдении надлежащих условий ее можно разлагать в этом промежутке как в ряд по косинусам
так и в ряд по синусам
[689]. Такого рода разложения чаще всего встречаются на практике. Результаты предыдущего п° могут быть приложены и к рассматриваемому случаю, если представить себе функцию
продолженной и на промежуток
четным образом — для получения ряда по косинусам или
нечетным образом — для получения ряда по синусам.
Пусть точками промежутка
где функция
и ее производные до
включительно имеют скачки, будут
а сами величины скачков попрежнему обозначены через
В случае продолжения функции четным образом скачки в точках
воспроизводятся и в точках —
но с обратными знаками, при продолжении же функции нечетным образом скачки воспроизводятся в точках —
с сохранением знаков. Далее, для четной функции
для нечетной же функции скачки
вообще могут быть отличными от нуля. Наконец, отметим еще, что при дифференцировании четная функция переходит в нечетную, а нечетная — в четную. Если учесть все эти замечания, то для коэффициентов
разложения нашей функции, соответственно, по косинусам или
по синусам получатся формулы вида (20) и (21), но с такими значениями для
В связи с этими формулами сделаем следующее важное замечание. Пусть функция
непрерывна во всем промежутке
вместе со своими производными до
порядка включительно; кроме того, пусть существует и
производная и имеет в этом промежутке ограниченное изменение. Тем не менее, вообще говоря, нельзя утверждать относительно коэффициентов
разложений (22) и (23), что они будут порядка
[ср. 707 и формулы
Действительно, хотя все суммы А в этом случае будут нулями, этого нельзя сказать про суммы
Продолжение функции нечетным образом искусственно создает разрыв при
или нарушает периодичность у самой функции и ее производных четного порядка, а продолжение четным образом делает то же с производными нечетного порядка!
Поэтому, если требуется разложить упомянутую функцию
в промежутке
в быстро сходящийся ряд, с полным использованием дифференциальных свойств функции, целесообразно продолжить ее на промежуток
с помощью многочлена
степени
определяемого из условий
[Построить такой многочлен можно, например, по способу, указанному в п° 257.] Таким путем мы сохраним дифференциальные свойства функции для всего промежутка
.
Пусть для 0 к, скажем,
. Для того чтобы осуществить разложение этой функции с коэффициентами порядка
мы продолжим ее с помощью многочлена
Если для продолженной таким образом функции составить обычный ряд Фурье, то для функции
в промежутке
и получится искомое быстро сходящееся разложение:
Изложенный здесь прием указан А. С. Малиевым,