§ 2. Криволинейные интегралы второго типа

546. Определение криволинейных интегралов второго типа.

Переходя к практически более важному понятию криволинейного интеграла второго типа, мы здесь начнем прямо с его определения, отложив приложения этого понятия до дальнейших номеров [см., например, п° 554]. Пусть дана непрерывная кривая (которую мы для простоты предположим незамкнутой) и пусть вдоль нее снова задана некоторая функция Разложив кривую точками на части, выберем на отрезке кривой по произволу точку и вычислим в ней, как и раньше, значение функции Но это значение мы умножим на этот раз не на длину дуги а на величину проекции этой дуги, скажем, на ось х, т. е. на затем составим сумму

Если при стремлении к нулю эта сумма имеет, конечный предел I, не зависящий ни от способа дробления кривой, ни от выбора точек то этот предел называется криволинейным интегралом (второго типа) от взятым по кривой или по пути и обозначается символом

Аналогично, умножая значение не на а на , т. е. на проекцию дуги на ось у, и составляя сумму

как предел ее получим криволинейный интеграл (второго типа) от

Если вдоль кривой определены две функции и существуют интегралы

то и их сумму называют криволинейным интегралом («общего вида») и полагают

Сопоставим теперь определение криволинейного интеграла второго типа (1) [или (2)] с определением криволинейного интеграла первого типа [см. 543 (1)]. При очевидном сходстве оба определения имеют существенное различие: в случае интеграла первого типа при составлении интегральной суммы значение функции умножается на длину участка кривой, а в случае интеграла второго типа это значение умножается на проекцию упомянутого участка на ось х (или на ось ).

Мы видели, что направление пути вдоль которого производится интегрирование, не играет роли в случае интеграла первого типа, ибо длина дуги от этого направления не зависит. Иначе обстоит (дело с интегралом второго типа: проекция упомянутой дуги на ту или другую из осей существенно зависит от направления дуги и меняет знак с изменением этого направления на обратное. Таким образом, для интегралов второго типа будет

и, аналогично,

причем из существования интегралов справа уже вытекает существование интегралов слева, и обратно.

Подобным же образом можно ввести понятие криволинейного интеграла второго типа, распространенного на пространственную кривую Именно, если функция задана в точках этой кривой, то, как и выше, строим сумму

и рассматриваем ее предел при условии стремления к нулю Этот предел называется криволинейным интегралом (второго типа) от и обозначается символом

Аналогично определяются интегралы вида

и

Наконец, рассматривается и интеграл («общего вида»)

Здесь также изменение направления интегрирования меняет знак интеграла.

Заметим в заключение, что простейшие свойства обыкновенного определенного интеграла [302, 303] легко переносятся на рассматриваемый криволинейный интеграл; останавливаться на этом не будем.