712. Предварительные замечания.

Относительно функции предположим теперь, что она абсолютно интегрируема в бесконечном промежутке . В этом предположении рассмотрим интеграл

где А есть произвольное конечное положительное число, а — любое фиксированное значение х. Этот интеграл представляет аналог частичной суммы ряда Фурье: из него интеграл Фурье

получается в пределе при

Так как функция и при любом конечном также абсолютно интегрируема в промежутке то по теореме IV п° 497 будем иметь:

Но интеграл

мажорируется сходящимся по предположению интегралом

и, следовательно, сходится равномерно относительно z (как при так и при и для любого промежутка его значений. Таким образом, интеграл при стремится к своему пределу (4) равномерно. Поэтому, переходя в равенстве (3) к пределу при в интеграле

слева предельный переход можно выполнить под знаком интеграла [теорема I п° 493] . Отсюда для получается выражение в виде интеграла

напоминающего интеграл Дирихле [681] и в действительности играющего такую же точно роль. Элементарным преобразованием его легко привести к виду

Для дальнейшего изложения нам понадобится следующее очевидное дополнение к основной лемме п° 681:

Если функция абсолютно интегрируема в бесконечном промежутке то

(равно как и

Доказательство можно скопировать с доказательства самой леммы п° 681 (для случая, когда функция имеет особую точку).