751. Обобщение.

Мы откажемся теперь от предположения ограниченности функции и допустим даже существование конечного числа точек, в которых разложение (15) может не иметь места. И при этих облегченных условиях справедлива

Обобщенная теорема Буа-Реймонда. Если функция абсолютно интегрируемая в промежутке разлагается в этом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, в тригонометрический ряд (15), то последний необходимо является ее рядом Фурье.

Начнем с того, что функцию периодически распространим на всю числовую ось. Впрочем, взамен удобнее рассматривать функцию

Для нее в любом конечном промежутке (за возможными исключениями в конечном числе точек) имеет место разложение уже без свободного члена:

Мы докажем, что, во-первых,

и, во-вторых, для

отсюда уже будут следовать требуемые соотношения (18).

Ограниченность коэффициентов [по лемме п° 748] и здесь позволяет ввести в рассмотрение риманову функцию

на этот раз периодическую (с периодом ).

Возьмем промежуток , не содержащий ни упомянутых выше исключительных точек, ни особых точек функции таков же очевидно, будет и промежуток при некотором, доста точно малом, . Ввиду ограниченности функции как и выше, за ключаем об ограниченности выражения при . К тому же

При любом у из по теореме Арцела [526] имеем:

Если положить

то последнее соотношение можно представить в виде

Так как выражение в фигурных скобках ограничено, при то, снова применяя теорему Арцела, имеем:

Полагая, далее,

сможем написать полученное соотношение так:

Но очевидно, имеет своей обыкновенной второй производной, так что

Если через у обозначить еще (очевидно, существующий) предел

то окончательно найдем:

Легко видеть теперь, что повторный интеграл

отличается от предыдущего на линейную функцию. Таким образом, функция

оказывается линейной в каждом промежутке вида ]. Значит, в каждой точке х, отличной от особых точек функции и от исключительных точек, где не имеет места разложение (15), будет

С другой стороны, во всех точках х без исключения выполняется условие типа (2): выражение

стремится к нулю при Действительно, для первого слагаемого справа стремление к нулю следует из второй теоремы Римана [в силу леммы п° 748], а по теореме о дифференцировании ингеграла по переменному верхнему пределу [305, 12°] то же Заключение оказывается справедливым и для суммы двух других слагаемых.

В таком случае, на основании обобщенной теоремы Шварца [746], имеем в любом конечном промежутке, а следовательно, и для всех вообще значений х:

Пусть теперь

дважды интегрируя почленно [731], получим:

Сопоставляя (20), (21) и (22), придем к разложению

которое справедливо для всех вещественных значений х без исключения.

Так как правая часть представляет собой непрерывную и периодическую, а значит, ограниченную функцию от х, то необходимо а также

Теперь оказывается, что ряд

повсюду сходится к 0, и притом равномерно. Отсюда [678 или 749] следует, что все его коэффициенты суть нули, так что выполняются условия (19):

чем и завершается доказательство.

Таким образом, мы подвели, наконец, фундамент под всю изложенную выше теорию тригонометрического разложения функций и обосновали то исключительное внимание, которое уделялось именно рядам Фурье.