Для нее в любом конечном промежутке (за возможными исключениями в конечном числе точек) имеет место разложение уже без свободного члена:
Мы докажем, что, во-первых,
и, во-вторых, для 
отсюда уже будут следовать требуемые соотношения (18).
Ограниченность коэффициентов [по лемме п° 748] и здесь позволяет ввести в рассмотрение риманову функцию
на этот раз периодическую (с периодом 
).
Возьмем промежуток 
, не содержащий ни упомянутых выше исключительных точек, ни особых точек функции 
таков же очевидно, будет и промежуток 
при некотором, доста точно малом, 
. Ввиду ограниченности функции 
как и выше, за ключаем об ограниченности выражения 
при 
. К тому же
При любом у из 
по теореме Арцела [526] имеем:
Если положить
то последнее соотношение можно представить в виде
Так как выражение в фигурных скобках ограничено, при 
то, снова применяя теорему Арцела, имеем:
Полагая, далее,
сможем написать полученное соотношение так:
Но 
очевидно, имеет 
своей обыкновенной второй производной, так что
Если через у обозначить еще (очевидно, существующий) предел
то окончательно найдем:
Легко видеть теперь, что повторный интеграл
отличается от предыдущего на линейную функцию. Таким образом, функция
оказывается линейной в каждом промежутке вида 
]. Значит, в каждой точке х, отличной от особых точек функции 
и от исключительных точек, где не имеет места разложение (15), будет
С другой стороны, во всех точках х без исключения выполняется условие типа (2): выражение
стремится к нулю при 
Действительно, для первого слагаемого справа стремление к нулю следует из второй теоремы Римана [в силу леммы п° 748], а по теореме о дифференцировании ингеграла по переменному верхнему пределу [305, 12°] то же Заключение оказывается справедливым и для суммы двух других слагаемых.
В таком случае, на основании обобщенной теоремы Шварца [746], имеем в любом конечном промежутке, а следовательно, и для всех вообще значений х:
Пусть теперь
дважды интегрируя почленно [731], получим:
Сопоставляя (20), (21) и (22), придем к разложению
которое справедливо для всех вещественных значений х без исключения.
Так как правая часть представляет собой непрерывную и периодическую, а значит, ограниченную функцию от х, то необходимо 
а также
Теперь оказывается, что ряд
повсюду сходится к 0, и притом равномерно. Отсюда [678 или 749] следует, что все его коэффициенты суть нули, так что выполняются условия (19):
чем и завершается доказательство.
Таким образом, мы подвели, наконец, фундамент под всю изложенную выше теорию тригонометрического разложения функций и обосновали то исключительное внимание, которое уделялось именно рядам Фурье.
и допустим даже существование конечного числа точек, в которых разложение (15) может не иметь места. И при этих облегченных условиях справедлива
Буа-Реймонда. Если функция 
абсолютно интегрируемая в промежутке 
разлагается в этом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, в 
периодически распространим на всю 
удобнее рассматривать функцию
