627. Подход через вписанные многогранные поверхности.

Хотя мы и отказались от мысли положить в основу самого определения понятия площади кривой поверхности вписанные в нее многогранные поверхности, но сейчас мы вернемся к этому и покажем, по крайней мере, как можно строить вписанные многогранные поверхности, площади которых заведомо стремятся к площади данной кривой поверхности.

Мы займемся, в основном, случаем, когда область представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.

Выберем определенную сторону поверхности и тем самым установим положительное направление обхода ее контура. Можно считать, что это направление соответствует положительному обходу контура прямоугольника . Мы знаем [621], что при этих условиях направляющие косинусы нормали к поверхности задаются формулами

с положительным значением радикала.

Рис. 91.

Разложим теперь прямоугольник с помощью параллелей его сторонам на частичные прямоугольники, а затем каждый из них диагональю разложим еще на два прямоугольных треугольника (рис. 91, в). Таким образом мы осуществим триангуляцию области . Пусть одним из элементарных треугольников будет с вершинами в точках

где А и — числа одного знака. На поверхности им отвечают точки

определяющие в пространстве некоторый (рис. 91, б). Из всех таких треугольников составится многогранная поверхность , вписанная в ее мы и будем рассматривать. Если обход контура каждого такого треугольника производить именно в направлении что отвечает положительному обходу контура треугольника то этим определится сторона многогранной поверхности , в согласии с условиями, установленными в п° 622.

Если спроектировать на плоскость то получится с вершинами в точках

Площадь этого последнего треугольника по величине и по знаку (с учетом его ориентации!) выразится, как известно из аналитической геометрии, определителем

По формуле конечных приращений

где величина произвольно мала вместе с , независимо от положения точки . Точно так же

где все производные вычислены при а буквой со значками здесь (и впредь) обозначаются величины, произвольно малые вместе с , независимо от положения точки Теперь величина может быть переписана в виде

где есть площадь . Аналогично получим и для проекций на другие координатные плоскости:

Площадь самого вычисляется теперь по формуле

и для нее легко получить выражение

Нетрудно сообразить, что отношения

выразят направляющие косинусы нормали к плоскости треугольника в соответствии с его ориентацией. Ввиду (6), (6а) и (7), они при стремятся к направляющим косинусам (5) нормали к поверхности, и притом равномерно для всех граней. Очевидно также, что при указанном предельном переходе и диаметры всех граней поверхности (Е) равномерно стремятся к нулю, что и требовалось доказать.

Наконец, суммируя равенства вида (7), легко усмотреть, что площадь многогранной поверхности (Е)

при и стремится именно к площади (3) кривой поверхности.

Эти построения естественно распространяются на случай, когда область составлена из прямоугольников. Триангуляция же произвольной области потребовала бы довольно кропотливых (хотя и вполне элементарных) соображений; на этом мы останавливаться не будем.