Обозначая по-прежнему через 
коэффициенты Фурье функции 
для производной 
коэффициенты Фурье мы будем обозначать через 
Интегрируя по частям, найдем (для 
)
так что
аналогично
Если полученные формулы применить к коэффициентам 
и выражения последних через 
подставить в формулы для 
то окажется, что
Продолжая этот процесс, мы индуктивно установим окончательные формулы, в которых приходится различать случай четного и нечетного 
Поставим себе задачей, пользуясь этими формулами, установить оценку для остатка ряда Фурье 
-кратно дифференцируемой функции, при тех или иных условиях, налагаемых на 
производную. В начале предыдущего параграфа мы изучали вопрос о равномерной сходимости ряда Фурье, т. е. о равномерном стремлении его остатка к нулю; здесь, правда, при более тяжелых предположениях, мы оказываемся в состоянии оценить даже быстроту этого стремления, установив порядок малости остатка в зависимости от дифференциальной природы функции.
с периодом 
имеющую производные до 
порядка 
включительно. Первые 
из них, разумеется, будут непрерывными функциями; относительно 
производной предположим покуда, что она (абсолютно) интегрируема.
