611. Примеры.

Так как преобразование переменных в двойном интеграле часто имеет целью упрощение области интегрирования, то здесь снова находит себе приложение все указания, сделанные по этому поводу в п° 608. Наряду с этим естественной целью преобразования является также упрощение подинтегрального выражения.

1) Если область представляет собой круг (с центром в начале) или его сектор, то выгодно перейти к полярным координатам. Для примера предлагается наново решить задачи: 1); 17) (а); 18) (б) п° 597.

Для второй из них имеем

Если при этом и в состав подинтегрального выражения входит сумма то тем больше оснований ждать упрощений от применения полярных координат.

2) Найти объем части шара (радиуса вырезаемой из него прямым круговым цилиндром (радиуса ось которого проходит через центр шара.

Решение. Принимая центр шара за начало координат, а ось цилиндра за ось z, будем иметь

3) Найти объем тела, ограниченного параболоидом вращения и плоскостью

Ответ.

4) Найти положение центра тяжести для кругового сектора радиуса с центральным углом 2а.

Решение. Выбрав за полярную ось (и ось биссектрису центрального угла, будем иметь

Если разделить это выражение на площадь сектора то найдется абсцисса центра тяжести:

Так как центр тяжести, ввиду симметрии, лежит на биссектрисе, то положение его установлено.

5) Найти массу круга (радиуса плотность которого в каждой точке равна расстоянию Этой точки от контура круга.

Ответ,

Приведем еще ряд примеров, где выгодно использовать полярные координаты.

6) Найти объем «тела Вивиани» [597, 20)].

Решение. Мы имели уже

где (Р) есть полукруг в первом квадранте плоскости построенный на радиусе сферы, как на диаметре (рис. 48). Наличие выражения в подинтегральной функции подсказывает переход к полярным координатам. Полярное уравнение контура (Р), т. е. полуокружности, будет при изменении 0 от 0 до Таким образом,

Как видим, выкладки здесь, действительно, очень упростились.

7) Найти (а) положение центра тяжести и полярный момент инерции для одного лепестка лемнискаты

Решение, (а) Полярное уравнение кривой:

Имеем последовательно:

и далее, полагая

Так как площадь одного лепестка [339, 12)], то чем и определяется положение центра тяжести.

(б) Имеем

8) Найти полярный момент инерции кардиоиды относительно полюса.

Ответ. .

9) Установить для «тела Вивиани» положение центра тяжести. [См. 6).] Решение. Из соображений симметрии ясно, что центр тяжести лежит на оси х. Вычислим статический момент:

Внутренний интеграл:

так что

Отсюда, наконец,

10) Найти объем тела, ограниченного эллиптическим цилиндром

плоскостью и одной из следующих поверхностей:

(а) плоскостью

(б) эллиптическим параболоидом

(в) гиперболическим параболоидом

Решение. Вопрос сводится к вычислению интеграла, распространенного на эллипсе плоскости в связи с чем целесообразно перейти к обобщенным полярным координатам, положив

якобиан преобразования при этом будет

Например, для случая получим

Аналогично найдем и для других случаев:

11) Найти объем трехосного эллипсоида

Указание. Прибегнуть к обобщенным полярным координатам Ответ.

12) Вычислить интеграл

распространенный на петлю кривой

в первом координатном угле.

Указание то же. Ответ,

13) Вычислить интегралы:

( — натуральное), где есть область, ограниченная осями координат и параболой

Решение. Параметрические уравнения кривой: Естественно рассмотреть семейство парабол, подобно расположенных (относительно начала): Вводя и t в качестве новых переменных, будем иметь так что

Последнее выражение может быть преобразовано к виду

При отсюда, в частности, получается решение задачи 3) п° 597.

14) Вычислить интеграл

где (В) есть область, ограниченная осями координат и параболой

Указание. Положить

Ответ.

15) Найти интеграл

где (D) есть область, ограниченная четырьмя параболами

Решение. Прибегнув к замене переменных, указанной в 604, 4) ср. 608, 5)], преобразуем интеграл к виду

Теперь легкое вычисление дает:

Аналогично угадывается подходящая система криволинейных координат и в следующих случаях:

16) Найти интеграл

если есть четырехсторонник, ограниченный кривыми:

У казание. Ввести новые координаты положив

Ответ.

17) Пусть (D) будет треугольник, определяемый неравенствами Предполагая непосредственно установить формулу Лиувилля [597, 16)]

где есть непрерывная функция в промежутке [0,1]. Доказательство. Положим

или

Этими формулами устанавливается взаимно однозначное соответствие между треугольником (D) на плоскости и квадратом на плоскости [Исключение составляет лишь точка которой отвечает отрезок оси ] При этом

Заменяя переменные, получим, что двойной интеграл равен

или

Так как первый множитель как раз и есть то требуемый результат установлен.

18) С помощью той же замены переменных можно доказать и более общую формулу:

(где непрерывна). При этом надлежит воспользоваться известным результатом: 534, 2).

19) К формуле Лиувилля приводится формула

если применить подстановку

причем Якобиан

20) Доказать с помощью замены переменных тождество (при любом

Рис. 76.

Доказательство. Замена переменных в двойном интеграле по формулам

приводит его к виду

где есть косо поставленный квадрат, изображенный на рис. 76. Но интеграл от второго слагаемого равен нулю (подстановка а интеграл от первого слагаемого, распространенный на квадрат , непосредственно приводится к удвоенному подобному же интегралу, взятому по квадрату Отсюда уже легко получить требуемый результат.