635. Простейшие частные случаи.

1°. Возвратимся вновь к интегралу (2) для случая, когда поверхность задана явным уравнением

причем функция z непрерывна вместе со своими частными производными

Если интеграл (2) берется по верхней стороне поверхности то в интегральной сумме (1) все положительны. Подставляя в эту сумму вместо его значение приведем ее к виду

в котором легко узнать интегральную сумму для обыкновенного двойного интеграла

Переходя к пределу, установим равенство

причем существование одного из этих интегралов влечет за собой существование другого. В частности, оба интеграла наверное суще ствуют, если функция непрерывна.

Если интеграл распространить на нижнюю сторону поверх ности то будем иметь, очевидно,

Замечание. Можно было бы во всех случаях сохранить мулу (3), если только двойной интеграл справа считать распростра ненным на надлежаще ориентированную область (D) [см. 610] Покажем теперь (для рассматриваемого случая), что поверхностный интеграл второго типа приводится и к поверхностному интегралу пер вого типа. Рассмотрим снова сумму (1), в предположении, что фикси рована верхняя сторона поверхности, так что все По формуле (2) п° 625

где есть острый угол между нормалью к поверхности и осью . Применив теорему о среднем значении, получим

здесь означает угол с осью z нормали к поверхности в некоторой

(отнюдь не произвольно выбираемой) точке элемента Подставляя в о это значение , получим

Эту сумму естественно сопоставить с суммой

где V; отвечает уже произвольно выбранной точке последняя сумма является, очевидно, интегральной суммой для поверхностного интеграла первого типа

Ввиду непрерывности функции

если поверхность разложить на достаточно малые элементы, то колебание этого косинуса в пределах отдельного элемента станет меньше любого наперед заданного числа . Предполагая функцию ограниченной: оценим разность обеих сумм :

таким образом, . Ясно, что для обеих сумм предел существует одновременно и притом один и тот же. Так мы приходим к равенству

причем из существования одного из интегралов вытекает существование другого. Мы видим снова, что, в частности, оба интеграла существуют в предположении непрерывности функции

Заменяя верхнюю сторону поверхности нижней, мы тем самым меняем знак левой части равенства (4). Если одновременно с тем под разуметь угол с осью нормали, направленной вниз же, то косинус, а с ним и интеграл справа, также изменит знак, так что равенство сохранится.

2°. Если (5) есть часть цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси z, направляющая которой на плоскости имеет

нулевую площадь, то все ее элементы имеют нулевые проекции, так что в этом случае

Очевидно, здесь также имеет место формула (4): так как то и правая часть этой формулы будет нулем.