644. Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов

Достаточно перечислить эти свойства [доказываются они аналогично изложенному в 692].

1°. Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых функцией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.

причем из существования интеграла слева вытекает уже существование интегралов справа, и обратно.

3°. Если то

причем из существования интеграла справа следует и существование интеграла слева.

4°. Если в области (V) интегрируемы две функции то интегрируема и функция причем

5°. Если для интегрируемых в области (V) функций выполняется неравенство то

6°. В случае интегрируемости функции интегрируема и функция и имеет место неравенство

7°. Если интегрируемая в (V) функция удовлетворяет неравенству

то

Иными словами, имеет место теорема о среднем значении

В случае непрерывности функции эту формулу можно написать

где есть некоторая точка области (V).

Далее, легко распространяется на трехмерный случай и содержание п° 693: так же, как и там, устанавливается понятие функции (трехмерной) области, в частности, аддитивной функции. Лажным примером такой функции (см. 2°) является интеграл по переменной области (у):

Вводится аналогично прежнему понятие производной функции по области в данной точке так называется предел

при стягивании к точке М содержащей ее области (о).

8°. Если подинтегральная функция непрерывна, то производной по области в точке от интеграла (4) будет как раз значение подинтегральной функции в этой точке, т. е.

Таким образом, при сделанном предположении интеграл (4) служит для функции в некотором смысле «первообразной» и, как доказывается аналогично плоскому случаю, единственной аддитивной первообразной.

Рис. 98.