727. Примеры.

1) На рис. 142 изображена диаграмма касательных усилий (на пальце кривошипа) для некоторой паровой машины. В связи с вопросом о крутильных колебаниях вала представляет интерес выделить гармонические составляющие касательного усилия Т, как функции от угла поворота кривошипа. Сняв с графика двенадцать равноотстоящих ординат, произведем гармонический анализ по указанной схеме:

Теперь по формулам (27):

Таким образом,

Объединим члены, содержащие косинус и синус одного и того же угла:

Мы видим, что наиболее сильное влияние здесь оказывает вторая гармоника.

Рис. 142.

2) Для того чтобы дать себе отчет в том, с какой, примерно, точностью пол) чаются коэффициенты Фурье функции но двенадцати ординатам ее

графика, мы приложим изложенный метод к некоторым аналитически заданным функциям и сравним приближенные результаты с точными,

Рис. 143.

Сначала рассмотрим функцию которая в промежутке задается формулой

а для остальных значений х определяется по закону периодичности

График функции представлен на рис. 143.

Вычислим табличку:

При этом можно использовать легко проверяемое тождество:

По схеме Рунге по этим значениям у найдем:

все числа а с ними и все коэффициенты оказываются нулями [690,22)].

В то же время формулы (22) непосредственно дают (с помощью трехкратного интегрирования по частям):

так что

Совпадение превосходное!

3) Однако далеко не всегда получается столь точный результат. В виде второго примера мы возьмем функцию с периодом которая в промежутке определяется так:

Ее график дан на рис. 144.

Рис. 144.

Пользуясь очевидным тождеством:

составим табличку:

Тогда по схеме Рунге

числа же и коэффициенты — на этот раз нули [690, 22)]. Точные значения коэффициентов будут:

в частности,

Таким образом, если для первых двух коэффициентов относительная погрешность не превосходит 1,5-2%, то для последующих она достигает и даже Ниже [730] мы еще вернемся к вопросу о точности полученных нами приближенных формул. Но уже и сейчас ясно, что для повышения этой точности нужно брать больше ординат.