576. Свойства интеграла Стилтьеса.

Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие его свойства:

При этом в случаях 2°, 3°, 4° из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.

Затем имеем

в предположении, что и существуют все три интеграла.

Для доказательства этой формулы достаточно лишь озаботиться включением точки с в число точек деления промежутка при составлении суммы Стилтьеса для интеграла

По поводу этой формулы сделаем ряд замечаний. Прежде всего, из существования интеграла следует уже существование обоих интегралов

Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого из стилтьесовой суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет место принцип сходимости Больцано — Коши. Таким образом, по заданному ввиду существования интеграла найдется такое , что любые две суммы о и а Стилтьеса, которым отвечают X и разнятся меньше чем на е. Если при этом в состав точек деления включить точку с, а точки деления, приходящиеся на промежуток брать в обоих случаях одними и теми же, то разность сведется к разности — двух сумм Стилтьеса, относящихся уже к промежутку , ибо прочие слагаемые взаимно уничтожатся. Применяя к промежутку и вычисленным для него стилтьесовым суммам тот же принцип сходимости, заключим о существовании интеграла . Аналогично устанавливается и существование интеграла

Особенно заслуживает быть отмеченным тот не имеющий прецедентов факт, что из существования обоих интегралов вообще говоря, не вытекает существование интеграла .

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть пример. Пусть в промежутке функции заданы следующими равенствами:

Легко видеть, что интегралы

оба существуют и равны 0, ибо соответствующие им суммы Стилтьеса все равны 0: для первого это следует из того, что всегда для второго — из постоянства функции благодаря чему всегда

В то же время интеграл

не существует. Действительно, разобьем промежуток [-1,1] на части так, чтобы точка 0 не попала в состав точек деления, и составим сумму

Если точка 0 попадает в промежуток так что то в сумме а останется только одно слагаемое; остальные будут нули, потому что для Итак,

В зависимости от того, будет ли или окажется так что а предела не имеет.

Указанное своеобразное обстоятельство связано с наличием разрывов в точке для обеих функций [см. 584, 3) и 4)].