689. Разложения только по косинусам или только по синусам.

Начнем со следующего замечания: если заданная в промежутке интегрируемая (в собственном или несобственном смысле) функция будет нечетной, то для нее

В этом легко убедиться, представив интеграл в виде суммы интегралов: и заменив во втором из них на — х. Таким же путем устанавливается, что в случае четной функции

Пусть теперь будет абсолютно интегрируемая в промежутке четная функция. Тогда произведение окажется нечетной функцией, и по сказанному

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит одни лишь косинусы:

Так как в этом случае тоже будет четной функцией то, применив сюда второе из сделанных выше замечаний, можем, коэффициенты разложения написать в виде

Если же функция будет нечетной, то нечетной будет и функция , так что

Мы приходим к заключению, что ряд Фурье нечетной функции содержит одни лишь синусы:

При этом ввиду четности произведения можно писать:

Отметим попутно, что каждая функция заданная в промежутке может быть представлена в виде суммы четной и нечетной составляющих функций:

где

Очевидно, что ряд Фурье функции как раз и составится из разложения по косинусам функции и разложения по синусам функции

Предположим, далее, что функция задана лишь в промежутке Желая разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье (2), мы дополним определение нашей функции для значений х в промежутке по произволу, а затем применим сказанное в 687. Подчеркнутый выше произвол в определении функции дает возможность получить таким путем различные тригонометрические ряды. Если в какой-нибудь точке между 0 и наша функция удовлетворяет одному из признаков, установленных в пп° 694, 696, то все эти ряды будут в точке сходиться к или в случае разрыва к

Рис. 123.

Можно использовать произвол в определении функции в промежутке так, чтобы получить для разложение только по косинусам или только по синусам. Действительно, представим себе, что для мы полагаем

так что в результате получится четная функция в промежутке (рис. 123, а), к тому же имеющая даже период . Ее разложение, как мы видели, будет содержать одни только косинусы. Коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (19), куда входят лишь значения первоначально заданной функции

Аналогично, если дополнить определение функции условием (для )

так, чтобы она оказалась нечетной (рис. 123,б), то в ее разложении будут участвовать только члены с синусами. Коэффициенты его определяются по формулам (21).

Таким образом, заданную в промежутке [0, те] функцию при соблюдении известных условий оказывается возможным разлагать как в ряд по косинусам, так и в ряд по синусам!

Особого исследования требуют, впрочем, точки Здесь оба разложения ведут себя по-разному. Предположим для простоты, что заданная функция непрерывна при и рассмотрим сначала разложение по косинусам. Условие (22) прежде всего сохраняет непрерывность при так что при соблюдении надлежащих условий ряд (18) при будет сходиться именно к Так как, далее,

то и при имеет место аналогичное обстоятельство.

Иначе обстоит дело с разложением по синусам. Не вдаваясь в соображения относительно нарушения непрерывности условием (23) и т. п., мы просто заметим, что в точках сумма ряда (20) явно будет нулем. Поэтому она может дать нам значения очевидно, лишь в том случае, если и эти значения равны нулю.

Если функция задана в промежутке , то, прибегнув к той же замене переменной, что и в 688, мы сведем вопрос о разложении ее в ряд по косинусам:

или в ряд по синусам:

к только что рассмотренному. При этом коэффициенты разложений вычисляются, соответственно, по формулам:

или