665. Скалярное и векторное поля.

Если с каждой точкой М определенной пространственной области (которая может охватывать и все пространство) связана некоторая скалярная или векторная величина, то говорят, что задано поле этой величины, соответственно, скалярное или векторное. В ближайших нам все время придется иметь дело с такими полями.

Примером скалярного поля может служить поле температуры или электрического потенциала. Если положение точки М определять ее координатами по отношению к некоторой произвольно выбранной координатной системе Охуг, то задание поля скалярной величины равносильно просто заданию числовой функции . Мы всегда будем предполагать, что эта функция имеет непрерывные частные производные по всем переменным. Если эти производные не обращаются одновременно в нуль, то уравнение

определяет некоторую поверхность (без особых точек), вдоль которой величина сохраняет постоянное значение; такая поверхность называется поверхностью уровня. Вся рассматриваемая область заполнена этими поверхностями, так что через каждую точку ее проходит одна и только одна поверхность уровня. Ясно, что поверхности уровня между собой не пересекаются.

Примером векторного поля может служить силовое поле или поле скоростей; подобные поля нам уже встречались. Если положить в основу некоторую систему координат то задание поля векторной величины К может быть осуществлено путем задания ее проекцией на оси

как функций от координат точки М, с которой величина А связана. И эти функции мы будем предполагать имеющими непрерывные производные. При изучении векторного поля важную роль играют векторные линии; векторной линией называется кривая, направление которой в каждой ее точке М совпав дает с направлением вектора А, отвечающего этой точке. Если вспомнить [234], что направляющие косинусы касательной к кривой пропорциональны дифференциалам то получится, что векторная линия характеризуется равенствами

В предположении, что вектор не обращается в нуль, можно доказать, опираясь на «теорему существования» из теории линейных систем дифференциальных уравнений, что вся рассматриваемая область заполняется векторными линиями, причем через каждую точку ее проходит одна и только одна такая линия. Векторные линии между собой не пересекаются.

Иногда приходится рассматривать поверхности, составленные из векторных линий; их называют векторными поверхностями. Векторная поверхность характеризуется тем, что в каждой ее точке М соответствующий вектор лежит в плоскости, касательной к поверхности в этой точке (или тем, что проекция вектора А на нормаль к поверхности во всех ее точках равна нулю). Если взять в рассматриваемой области какую-нибудь линию, отличную от векторных линий, и через каждую ее точку провести векторную линию, то геометрическое место этих линий и даст нам векторную поверхность. В случае, если упомянутая «направляющая» линия является замкнутой, получается трубкообразная векторная поверхность, которая и называется векторной трубкой.