697. Кратные ряды Фурье.
Можно рассматривать ряды Фурье и для функций нескольких переменных. Чтобы дать об этом представление, достаточно ограничиться случаем функции двух переменных.
Пусть для всех вещественных значений х и у задана функция 
. Мы предположим ее имеющей период 
как по х, так и по у, и интегрируемой (в собственном или несобственном смысле) в квадрате
Подражая разложению (10), напишем для нее двойной ряд
где коэффициенты 
определяются формулами, аналогичными 
Это и есть ряд Фурье функции 
в комплексной форме. Его коэффициенты могли бы быть получены обычным приемом, если, заменяя знак 
в написанном выше соотношении на 
умножить обе части «равенства» на 
и проинтегрировать по квадрату 
выполняя для ряда это интегрирование почленно.
В вещественной форме ряд Фурье выглядит на этот раз довольно громоздко. Если в комплексном ряде объединить сопряженные члены, то получим:
где
и, наконец, при 
Впрочем, обычно ряд (24) пишут в виде 
разумея под множителем 
четверть, если 
половину, если из значков 
лишь один равен нулю, и единицу, если ни один из них не нуль. Зато коэффициенты 
все вычисляются по формулам (25).
Вопрос о сходимости ряда (24) [или 
решается путем исследования его частичной суммы 
для которой можно получить интегральное выражение вроде интеграла Дирихле:
Мы не будем этим заниматься. Заметим лишь, что функция 
заведомо разлагается в точке 
в 
Фурье, если выполнены условия: 1) частные производные 
повсюду существуют и ограничены, 2) в окрестности данной точки существует вторая производная 
которая к тому же в данной точке непрерывна.
