697. Кратные ряды Фурье.

Можно рассматривать ряды Фурье и для функций нескольких переменных. Чтобы дать об этом представление, достаточно ограничиться случаем функции двух переменных.

Пусть для всех вещественных значений х и у задана функция . Мы предположим ее имеющей период как по х, так и по у, и интегрируемой (в собственном или несобственном смысле) в квадрате

Подражая разложению (10), напишем для нее двойной ряд

где коэффициенты определяются формулами, аналогичными

Это и есть ряд Фурье функции в комплексной форме. Его коэффициенты могли бы быть получены обычным приемом, если, заменяя знак в написанном выше соотношении на умножить обе части «равенства» на и проинтегрировать по квадрату выполняя для ряда это интегрирование почленно.

В вещественной форме ряд Фурье выглядит на этот раз довольно громоздко. Если в комплексном ряде объединить сопряженные члены, то получим:

где

и, наконец, при

Впрочем, обычно ряд (24) пишут в виде

разумея под множителем четверть, если половину, если из значков лишь один равен нулю, и единицу, если ни один из них не нуль. Зато коэффициенты все вычисляются по формулам (25).

Вопрос о сходимости ряда (24) [или решается путем исследования его частичной суммы для которой можно получить интегральное выражение вроде интеграла Дирихле:

Мы не будем этим заниматься. Заметим лишь, что функция заведомо разлагается в точке в Фурье, если выполнены условия: 1) частные производные повсюду существуют и ограничены, 2) в окрестности данной точки существует вторая производная которая к тому же в данной точке непрерывна.