700. Поведение ряда Фурье вблизи точки разрыва; частный случай.

Переходя к исследованию поведения ряда Фурье функции вблизи точки разрыва этой функции, мы начнем с рассмотрения одного частного ряда, для которого интересующее нас явление выступает с наибольшей простотой и отчетливостью.

Мы знаем, что ряд

сходится к сумме

[см. 690, 4)]; в точке эта функция претерпевает скачок и справа, и слева:

Изучим поведение частичной суммы ряда

Ввиду ее нечетности достаточно рассматривать эту сумму лишь в промежутке Больше того, очевидное тождество

показывает, что симметрична относительно точки

это позволяет ограничить исследование промежутком

Для суммы легко получается выражение:

или, если положить

Последнее выражение можно написать в виде суммы:

где Полагая вообще для

имеем, очевидно,

Таким образом, окончательно:

где через обозначено последнее, «неправильное», слагаемое; оно имеет знак а по абсолютной величине меньше

Отсюда непосредственно вытекает ряд заключений о поведении суммы если фиксировано, а х изменяется от 0 до у:

1) сумма положительна, обращаясь в нуль лишь при

2) она имеет экстремумы в точках

именно максимумы при нечетных t минимумы при четных. Действительно, в промежутке Функция как явствует из (8, возрастает при четном и убывает при нечетном

Рис. 133.

Наконец, из представления экстремального значения

с учетом неравенств (9) получается также, что

3) при изменении х в пределах промежутка максимальные значения слева направо убывают, а минимальные — возрастают.

Все эти утверждения иллюстрируются рис. 133, где для примера изображен график функции

Остановимся теперь на наибольшем максимуме функции т. е. на первом ее максимуме, считая от Он принимается функцией в точке

и равен по величине [см. (7)]

Здесь в обозначение введен номер ибо на этот раз мы намерены проследить за поведением функции именно при изменении Очевидно, монотонно убывает при возрастании и стремится к 0 при Для облегчения исследования самой величины М перепишем выражение для нее в следующем виде:

Так как второй множитель в подинтегральном выражении с возрастанием равномерно (относительно и притом убывая стремится к единице, то, очевидно, и убывая стремится к пределу:

Итак, имеем:

4) первый (наибольший) максимум функции достигается при значении которое монотонно убывая стремится нулю при безграничном возрастании а самый максимум при этом монотонно убывая стремится к пределу выражаемому формулой (10).

Аналогичное утверждение можно было бы сделать вообще относительно фиксировано!) экстремума функции: оно достигается при значении

которое стремится к 0 при , а величина экстремума при этом монотонно стремится к пределу

а именно — убывая, если речь идет о максимуме — нечетное), и возрастая — в случае минимума (k — четное).

Для иллюстрации мы приводим рис. 134, где сопоставлены графики первых шести сумм при

Числа как явствует из рассуждений, проведенных в п° 439, попеременно то больше, то меньше числа

Разности имеют следующие значения:

Теперь мы в состоянии уже достаточно полно охарактеризовать сходимость частичных сумм ряда (5) к его сумме а ограничимся для определенности промежутком

Рис. 134.

Если точки разрыва выделить сколь угодно малыми окрестностями , то в остающемся промежутке , в силу доказанного в предыдущем п°, ряд сходится равномерно. Иными словами, графики частичных сумм при достаточно больших и сколь угодно тесно примыкают к прямой сразу на всем протяжении этого промежутка. Вблизи же точки где функция скачком переходит от значения к значению 0, равномерность приближения естественно должна нарушиться, ибо от близких к у значений при (или ) непрерывным образом переходят к значению 0 при (или ).

Весьма замечательно, однако, что нарушение равномерности не исчерпывается только сказанным; к этому факту мы привлекаем внимание читателя. В непосредственной близости к оси у справа, прежде чем резко устремиться к начальной точке (0, 0), графики функций

колеблются около прямой причем «амплитуды» этих колебаний вовсе не имеют тенденции бесконечно уменьшаться при Наоборот, как мы видели, высота первого, и наиболее высокого, горба над упомянутой прямой стремится при этом к величине за первым горбом, передвигаясь справа налево с возрастанием и сгущаясь к оси у, следуют дальнейшие впадины и горбы, причем расстояния их вершин от прямой при стремятся, соответственно, к дальнейшим величинам из ряда (11). Аналогичная картина имеет место вблизи прямой слева. Точно также вблизи оси у слева снова повторяется та же картина с тем лишь изменением, что все рассматриваемые величины получают обратные знаки.

Рис. 135.

Можно сказать, что «предельным геометрическим образом» при для кривых является не ломаная, изображенная на рис. 135, а (как естественно было бы а ломаная рис. 135, б с соответственно удлиненными — примерно на 0,281: -вертикальными отрезками.

Этот своеобразный дефект сходимости впервые был в самом конце прошлого века отмечен, также на частном примере тригонометрического разложения, Гиббсом и в связи с этим известен под названием явление Гиббса. Мы увидим сейчас, что это явление в некотором смысле имеет место в общем случае.