и расходиться. Так как функция 
четна, 
нечетна, то достаточно ограничиться промежутком 
1°. Если функция 
(или 
) абсолютно интегрируема, то ряд (С) [или 
] представляет собой ее ряд Фурье.
(а) Умножив разложение функции 
на 
мы получим равномерно сходящийся в промежутке 
ряд. Действительно, так как
то
и сюда приложим признак Дирихле [429]. Мы использовали здесь элементарные неравенства
В таком случае ряд можно почленно проинтегрировать от 0 до к, и мы получим:
Переходя к функции 
умножим ее разложение на 
Этот ряд также будет по признаку Дирихле равномерно сходящимся в промежутке 
. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что
и потому
Использовано неравенство: 
Интегрируя почленно от 0 до 
, находим:
Перейдем здесь к пределу при 
При этом по предположению 
также стремится к нулю и последний интеграл — по основной лемме п° 682. Таким образом, получаем сначала
а затем и вообще
чем и завершается доказательство.
2°. Если ряд
сходится, то оба ряда (С) и 
определяют абсолютно интегрируемые функции 
следовательно, являются их рядами Фурье).
Так как рассуждения для обоих рядов однотипны, то мы ограничимся случаем ряда (С). Полагая
будем иметь последовательно:
мы переставили здесь два суммирования [393] и использовали очевидные равенства:
Пусть теперь
Для этих значений х представим 
в виде:
Первая сумма оценивается по абсолютной величине числом 
Для оценки второй применим к выражению
лемму Абеля [383]. Так как
то
Та же оценка в пределе сохраняется и для всей второй суммы, так что окончательно
В таком случае [см. (3) и (2)]
так что функция 
действительно абсолютно интегрируема. Остается применить 1°.
Как мы увидим ниже [732], сходимость ряда (2) является одновременно и необходимой для того, чтобы ряд 
был рядом Фурье, так что в отношении ряда 
полученный результат дальнейшему улучшению не подлежит. Иначе обстоит дело с рядом (С): здесь упомянутое условие отнюдь не необходимо. Мы приведем для этого случая еще и другое достаточное условие, которое не покрывается прежним.
3°. Если и разности — 
монотонно убывают с возрастанием 
то функция 
неотрицательна и интегрируема [а ряд (С) является ее рядом Фурье].
Подвергнем частичную сумму
преобразованию Абеля [383]. Учитывая (1), найдем:
Полученную сумму мы снова подвергнем преобразованию Абеля. Если для краткости положить 
и учесть, что
то 
приведется к виду:
Так как последние два члена стремятся к нулю при 
то, переходя к пределу, получим для 
разложение по неотрицательным и непрерывным функциям:
(коэффициенты 
неотрицательны по предположению). Отсюда ясно, что и функция 
неотрицательна.
Для доказательства интегрируемости этой функции воспользуемся следствием из п° 518 и замечанием к нему, перефразированным для рядов. Можно написать:
если только сходится этот ряд.
Так как
то непосредственно получаем:
так, что
Остается лишь убедиться в сходимости ряда справа.
Мы видели в 375, 3), что если ряд
с монотонно убывающими положительными членами сходится, то необходимо выполняется условие
Отсюда следует, далее, что ряд
сходится и имеет ту же сумму, что и ряд (4): это видно из тождества
Если теперь взять 
то оказывается, что
и окончательно
Теорема доказана.
Например, условию этой теоремы удовлетворяет ряд
этот пример поучителен в том отношении, что теорема 2° к нему не применима, так как ряд
расходится [367, 69)].
Замечание. Если в рядах 
заменить переменную х на 
то получатся ряды с знакопеременными коэффициентами, убывающими по абсолютной величине. Для таких рядов доказанные теоремы также сохраняют силу.
положительны и стремятся к нулю, монотонно убывая. Как мы знаем [см. конец п° 430], в любом замкнутом промежутке, не содержащем точек 
оба ряда сходятся равномерно. Обозначим сумму ряда (С) через 
а сумму ряда 
через 
обе функции имеют период 
и непрерывны повсюду, исключая точек вида 
. В этих исключительных точках ряд (С) может