738. Умножение рядов Фурье.

Пусть даны две функции с их рядами Фурье:

Задача, которую мы сейчас ставим перед собой, состоит в том, чтобы написать ряд Фурье для произведения этих функций:

т. е. выразить его коэффициенты через данные коэффициенты .

Предположим, что функции интегрируемы с их квадратами так что для них имеет место обобщенное уравнение замкнутости (22). Тогда оно непосредственно приводит к выражению для коэффициента

Нетрудно и определение коэффициентов (при ) тоже свести к использованию формулы (22). Выражение для

отличается от выражения для тем, что заменено на Постараемся же найти коэффициенты Фурье для этой последней функции:

причем эти формулы годятся не только для но и для если условиться полагать

Теперь, снова по формуле (22),

Аналогично получается, что

Этими формулами и решается поставленная задача.

Интересно отметить, что те же выражения для коэффициентов А, В могут быть получены путем формального перемножения рядов Фурье для функций если в последующем заменить произведения косинусов и синусов их суммами или разностями и объединить подобные члены. Это обстоятельство тем более замечательно что здесь мы вовсе не предполагаем даже сходимости перемножаемых рядов.