596. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области.
Рассмотрим область (Р), ограниченную снизу и сверху двумя непрерывными кривыми:
а с боков — двумя ординатами: 
(рис. 39). Тогда аналогично теореме п° 594 имеет место следующая
Рис. 39.
Теорема. Если для функции 
определенной в области (Р), существует двойной интеграл
и — при каждом постоянном значении х из 
— простой интеграл 
то существует также повторный интеграл
и выполняется равенство
Доказательство строится на сведении этого случая к рассмотренному в п° 594. Именно, заключим область (Р) в прямоугольник
полагая 
(см. рис. 39), и определим в этом прямоугольнике функцию 
следующим образом:
Покажем, что эта функция удовлетворяет условиям теоремы п° 594.
Прежде всего, она интегрируема в области (Р), ибо здесь она совпадает с интегрируемой по условию функцией 
очевидно, поэтому
С другой стороны, 
вне (Р) и, следовательно, интегрируема и в остальной части 
прямоугольника 
причем
Тогда, в силу 592, 2°, функция 
интегрируема во всем прямоугольнике 
и
При постоянном значении 
существует интеграл
ибо существует каждый из трех интегралов справа. Действительно, так как в промежутках 
изменения у функция 
то первый и третий интегралы существуют, будучи равны нулю. Второй же интеграл совпадает с интегралом от функции 
поскольку 
для у в 
Окончательно,
В силу упомянутой теоремы, для функции 
существует и повторный интеграл, который равен двойному [см. 594 (4)]:
Принимая же во внимание (7) и (8), видим, что эта формула равносильна формуле (6).
Если область (Р) представляет собой криволинейную трапецию другого типа и ограничена кривыми
и прямыми 
то вместо (6) придем к формуле
в предположении, что, наряду с двойным интегралом, при 
существует простой интеграл по X.
Рис. 40.
Замечание. Если контур области (Р) пересекается лишь в двух точках как параллелями оси ординат, так и параллелями оси абсцисс (как, например, в случае, изображенном на рис. 40), то при выполнении указанных условий применимы обе упомянутые формулы. Из сопоставления их получается равенство
которое представляет и самостоятельный интерес. Это — аналог формулы (5) п° 594.
Если функция 
в области (Р) непрерывна, то интегралы, двойной и простой, существуют, и формулу (5) или (5, смотря по типу области (Р), можно использовать для вычисления двойного интеграла.
В случае более сложного контура область (Р) обычно разлагается на конечное число частей рассмотренного типа. [Например, фигура (Р) на рис. 41 рассекается прямо 
на три такие части: 
Тогда и искомый интеграл, в силу 592, 2°, представляется суммой интегралов, распространенных в отдельности на эти части; каждый из них вычисляется как указано.
Рис. 41.
В общем случае также, поскольку мы свели дело к теореме п° 594, в основе умозаключений лежит разбиение рассматриваемой фигуры на прямоугольные элементы. В связи с этим и здесь для обозначения двойного интеграла пользуются часто символом
произведение 
напоминает о площади элементарного прямоугольника. Само собою понятны и обозначения
