583. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса.

1 °. Пусть функции непрерывны в промежутке и при равномерно стремятся к предельной функции

[очевидно, также непрерывной, 436], — функция с ограниченным изменением. Тогда

Доказательство. По заданному найдется такое что при будет для всех х

Тогда, в силу (25), для

что, ввиду произвольности и доказывает теорему.

2°. Пусть теперь функция непрерывна в промежутке а функции — все с ограниченным изменением в этом промежутке. Если полные изменения этих функций в их совокупности ограничены:

при стремятся к предельной функции

то

Доказательство. Прежде всего убедимся в том, что предельная функция сама также будет иметь ограниченное изменение. Разложив промежуток произвольным образом на части точками

будем иметь (при любом )

Переходя к пределу здесь при получим

откуда и

Составим суммы Стилтьеса

Если предположить, что промежуток при этом разложен на столь мелкие части, что колебание функции в каждой из них будет уже меньше произвольного наперед взятого числа то, в силу оценки (26), при всех

С другой стороны, если разбиение, выбранное под указанным условием, фиксировать, то, очевидно, а при так что найдется такое что для будет

Тогда для тех же значений будем иметь, в силу (27) и (28),

откуда, ввиду произвольности и следует требуемое заключение.