696. Сопряженный ряд.

Тригонометрический ряд

с произвольными вещественными коэффициентами можно формально рассматривать, как вещественную часть степенного ряда

расположенного по степеням комплексной переменной при Действительно, тогда

и

Мнимая же часть формально представляется рядом

Ряд (19) называется сопряженным с рядом (17).

Особый интерес представляет ряд, сопряженный с рядом Фурье некоторой (имеющей период и абсолютно интегрируемой) функции . В частности, можно параллельно с вопросом о сходимости самого ряда Фурье (17) поставить и вопрос о сходимости сопряженного с ним ряда. Впрочем, в последнем случае дополнительной трудностью служит то обстоятельство, что наперед неясно, какой суммы естественно ждать от сопряженного ряда.

Начнем, как и в п° 691, с составления удобного выражения для частичной суммы ряда (19) при . Подставляя вместо

коэффициентов их интегральные выражения [см. (9)], найдем последовательно:

Если сумму под знаком интеграла преобразовать по формуле

то выражение для примет вид

Этот интеграл является аналогом интеграла Дирихле.

Переходя к промежутку и воспользовавшись подстановкой как и в п° 681, получим

где для краткости положено

Если предположить сходимость интеграла

хотя бы и не абсолютную, то можно написать:

и пытаться установить стремление к нулю последнего интеграла при тогда 50 и окажется суммой ряда (19). Ограничимся

указанием достаточного условия для этого, построенного по типу признака Дини [684]:

Сопряженный ряд для ряда Фурье функции в точке х сходится к сумме если интеграл

существует.

Ввиду того что

из сделанного предположения прежде всего вытекает даже абсолютная сходимость интеграла (22). Аналогично устанавливается абсолютная сходимость интеграла

а отсюда по основной лемме п° 682 следует, что что и требовалось доказать.

Очевидно, достаточно сделать предположение о существовании порознь интегралов

или более частное предположение о выполнении условия Липшица:

Отметим, что все эти условия предполагают непрерывность функции в точке или, по крайней мере, совпадение пределов Впрочем, можно и в общем случае доказать, что при наличии скачка функции в рассматриваемой точке т. е. при условии

сопряженный ряд (19) в этой точке заведомо расходится, так что предположение о непрерывности функции в точке оказывается необходимым. В этом усматривается любопытное расхождение в положении вещей по отношению к рядам (17) и (19): ведь для ряда Фурье (17) наличие скачка само по себе не служило препятствием к сходимости.

В более детальное исследование ряда, сопряженного с рядом Фурье, мы вдаваться не будем.