706. Оценка остатка в случае функции с ограниченной k-й производной.

Обратимся теперь снова к рассмотрению функции с периодом имеющей производные до порядка включительно, причем на этот раз предположим производную ограниченной:

и интегрируемой в собственном смысле.

Установим следующий важный результат, принадлежащий акад. С. Н. Бернштейну: при сделанных предположениях существует абсолютная постоянная А такая, что (для

При доказательстве мы будем различать случаи четного и нечетного А.

1°. Пусть Выражение для остатка ряда Фурье функции

если воспользоваться формулами (1а), может быть написано в виде:

В скобках имеем член ряда Фурье функции вводя частичную сумму этого ряда, можем заменить названный член через

Раскрыв скобки и по-другому объединив члены [ср. 383], мы придем к ряду:

Для обоснования указанного преобразования заметим, что

это следует из неравенства

которое получится, если неравенство (2) применить к функции Из (5) и (6) вытекает. оценка:

Последнюю сумму снова преобразуем к виду

Если воспользоваться неравенствами

и

[см. 373, а)], то последовательно получатся для нее оценки

Возвращаясь к получаем для этой величины такую оценку:

откуда, конечно, надлежаще изменив Л, легко прийти уже к (4).

2°. Теперь предположим Опираясь на формулы (16), перепишем

В выражении, стоящем в скобках, мы узнаем на этот раз член ряда, сопряженного с рядом Фурье функции Так как и для его частичной суммы также имеем оценку

[см. (3)], то дальнейшие рассуждения ничем не разнятся от приведенных выше.