706. Оценка остатка в случае функции с ограниченной k-й производной.
Обратимся теперь снова к рассмотрению функции
с периодом
имеющей производные до
порядка включительно, причем на этот раз предположим
производную ограниченной:
и интегрируемой в собственном смысле.
Установим следующий важный результат, принадлежащий акад. С. Н. Бернштейну: при сделанных предположениях существует абсолютная постоянная А такая, что (для
При доказательстве мы будем различать случаи четного и нечетного А.
1°. Пусть
Выражение для остатка ряда Фурье функции
если воспользоваться формулами (1а), может быть написано в виде:
В скобках имеем
член ряда Фурье функции
вводя частичную сумму
этого ряда, можем заменить названный член через
Раскрыв скобки и по-другому объединив члены [ср. 383], мы придем к ряду:
Для обоснования указанного преобразования заметим, что
это следует из неравенства
которое получится, если неравенство (2) применить к функции
Из (5) и (6) вытекает. оценка:
Последнюю сумму снова преобразуем к виду
Если воспользоваться неравенствами
и
[см. 373, а)], то последовательно получатся для нее оценки
Возвращаясь к
получаем для этой величины такую оценку:
откуда, конечно, надлежаще изменив Л, легко прийти уже к (4).
2°. Теперь предположим
Опираясь на формулы (16), перепишем
В выражении, стоящем в скобках, мы узнаем на этот раз
член ряда, сопряженного с рядом Фурье функции
Так как и для его частичной суммы
также имеем оценку
[см. (3)], то дальнейшие рассуждения ничем не разнятся от приведенных выше.