Во многих задачах о распространении волн рассматривается непрерывное распределение какого-либо вещества или некоторое состояние среды и (в одномерном случае) можно определить плотность $\rho(x, t)$ на единицу длины и расход $q(x, t)$ в единицу времени. Далее можно определить скорость течения $v(x, t)$ равенством
\[
v=\frac{q}{\rho} .
\]

Предполагая, что исследуемое вещество (или состояние среды) сохраняется, можно считать, что скорость изменения его полного количества в любом интервале $x_{1}>x>x_{2}$ должна компенсироваться суммарным потоком через сечения $x_{1}$ и $x_{2}$, т. е.
\[
\frac{d}{d t} \int_{x_{2}}^{x_{1}} \rho(x, t) d x+q\left(x_{1}, t\right)-q\left(x_{2}, t\right)=0 .
\]

Если $\rho(x, t)$ имеет непрерывные производные, то можно перейти к пределу $x_{1} \rightarrow x_{2}$ и получить закон сохранения
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial q}{\partial x}=0 .
\]

Простейшая задача о распространении волн получается в том случае, когда, исходя из теоретических или эмпирических соображений, можно постулировать (в первом приближении!) некоторую функциональную связь между $q$ и $\rho$. Если эту связь записать в виде
\[
q=Q(\rho),
\]

то уравнения (2.11) и (2.12) образуют полную систему. Произведя подстановку, получим
\[
\rho_{t}+c(\rho) \rho_{x}=0
\]

где
\[
c(\rho)=Q^{\prime}(\rho) .
\]

Это приводит нас к уравнению (2.2), общее решение которого дается формулами (2.5) и (2.6). Наличие опрокидывания заставляет нас пересмотреть как математическое предположение о существовании производных функций $\rho$ и $q$, так и физическое предположение о том, что соотношение $q=Q(\rho)$ является хорошим приближением. Чтобы разъяснить важность этих идей для дальнейщего развития теории, укажем здесь несколько характерных примеров. Мы вернемся к их более подробному обсуждению в гл. 3 после завершения изложения основных теоретических идей.

Забавный (и важный) пример связан с потоком транспорта. Разумно предположить, что основные черты достаточно интенсивного потока транспорта можно получить, считая его нешрерывным с наблюдаемой плотностью $\rho(x, t)$, равной числу машин на единицу длины, и расходом $q(x, t)$, равным числу машин, пересекающих черту $x$ за единицу времени. На участке шоссе без въездов и съездов машины сохраняются! В силу этого мы имеем равенство (2.10). Для движения транспорта разумно также считать, что расход $q$ определяется главным образом локальной плотностью $\rho$, и в качестве первого приближения предложить существование зависимости (2.12). Такие функциональные соотношения изучались и в какой-то степени были установлены рядом инженеров-транспортников.

Теперь мы можем применить изложенную выше теорию. Ясно, однако, что в этом случае при возникновении опрокидывания нет недостатка в причинах, объясняющих возможную неадекватность предпосылок теории. Несомненно, предположение $q=Q(\rho)$ является весьма упрощенным взглядом на очень сложное явление. Например, если плотность изменяется быстро (как это имеет место вблизи начала опрокидывания), следует ожидать, что водители реагируют не только на локальную плотность; следует ожидать также, что проходит некоторое время прежде, чем они соответствующим образом среагируют на изменение обстановки. Можно усомниться и в самом предположении непрерывности.

Другим примером являются паводковые волны в длинных реках. Здесь $\rho$ заменяется площадью $A$ поперечного сечения, зависящей от $x$ и $t$, когда уровень воды в реке поднимается. Если $q$ суммарный расход через данное поперечное сечение, то зависимость (2.10) между $A$ и $q$ выражает закон сохранения количества воды. Хотя течение жидкости описывается чрезвычайно сложным образом, кажется естественным начать с функционального соотношения $q=Q(A)$ как первого приближения, выражающего увеличение расхода при повышении уровня воды. Такие эмпирические соотношения действительно выводились, исходя из наблюдений на различных реках. Но опять ясно, что это предположение является сверхупроцением, которое придется изменить при возникновении каких-либо неприятностей в теории.

Аналогичным примером, предложенным и тщательно изученным Наем [1], является движение ледника. Можно ожидать, что скорость движения возрастает с ростом толщины льда, и разумно предположить, что между этими величинами существует функциональная зависимость.

В хроматографии и других процессах обмена, изучаемых в химической технологии, также возникает подобная теория. Она формулируется несколько сложнее. Процесс заключается в том, что жидкость, несущая растворенные вещества или частицы, или ионы, протекает через неподвижную твердую фазу и переносимый материал частично адсорбируется этой твердой фазой. Идеализируя этот процесс, принимают, что течение жидкости происходит с постоянной скоростью $V$. Тогда если $\rho_{f}$ – плотность материала, переносимого жидкостью, а $\rho_{s}$ – плотность адсорбированного вещества, то
\[
\rho=\rho_{f}+\rho_{s}, \quad q=V \rho_{f} .
\]

Поэтому закон сохранения (2.11) имеет вид
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho_{f}+\rho_{s}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(V \rho_{f}\right)=0 .
\]

Второе соотношение касается скорости адсорбции. Уравнение обмена вида
\[
\frac{\partial \rho_{s}}{\partial t}=k_{1}\left(A-\rho_{s}\right) \rho_{f}-k_{2} \rho_{\varepsilon}\left(B-\rho_{f}\right),
\]

очевидно, является простейшим уравнением, обладающим требуемыми свойствами. Первый член описывает адсорбцию со скоростью, пропорциональной количеству вещества в жидкости и ограниченной количеством уже адсорбированного вещества вплоть до насыщения $A$. Второй член описывает обратный переход. (В некоторых процессах второй член просто пропорционален $\rho_{s}$; этим случаям отвечает предел $B \rightarrow \infty, k_{2} B$ конечно.) В равновесном состоянии выражение в правой части этого уравнения обращается

в нуль, так что $\rho_{s}$ является известной функцией от $\rho_{f}$. В медленно изменяющихся условиях при сравнительно больших скоростях реакции $k_{1}$ и $k_{2}$ в первом приближении все еще можно считать, что это выражение равно нулю («квазиравновесное состояние»), так что
\[
\rho_{s}=A \frac{k_{1} \rho_{j}}{k_{2} B+\left(k_{1}-h_{2}\right) \varphi_{j}} .
\]

Таким образом, $\rho_{s}$ – функция $\rho_{f}$; следовательно, $q$ – функция $\rho$. Когда обмен становится быстрым, а именно перед опрокидыванием, членом $\partial \rho_{s} / \partial t$ в уравнении обмена уже нельзя пренебрегать.

В жачестве примера другого рода в эту общую схему можно включить понятие групповой скорости. Как было уже указано в связи с формулой (1.26), для линейных диспергирующих волн существуют осциллирующие решения с локальным волновым числом $k(x, t)$ и локальной частотой $\omega(x, t)$. В этом случае $k$ – плотность волн, т. е. число волновых гребней на единицу длины, а $1-$ расход, т. е. число волновых гребней, проходящих через точку $x$ за единицу времени. Если предположить, что число волновых гребней в процессе распространения сохраняется, то имеем дифференциальное уравнение сохранения
\[
\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x}=0 .
\]

Кроме того, $k$ и $\omega$ уже связаны дисперсионным соотнопением
\[
\omega=\omega(k),
\]

откуда
\[
\frac{\partial k}{\partial t}+\omega^{\prime}(k) \frac{\partial k}{\partial x}=0 .
\]

Таким образом получено волновое уравнение для распространения изменений локального волнового числа в волновом пакете, и скоростью этого распространения является $d \omega / d k$, т. е. групповая скорость. Эти идеи будут рассмотрены со всей полнотой при последующем изучении диспергирующих волн.

В перечисленных здесь волновых задачах исходят из уравнения сохранения (2.11), и поэтому используется термин кинематические волны (Лайтхилл и Уизем [1]) в отличие от обычных звуковых и упругих волн, которые существенно зависят от того, каким образом из законов динамики определяется ускорение.

После этого обозрения некоторых физических задач вернемся к изучению опрокидывания и ударных волн с целью завершения теории. Более подробно эти физические задачи будут рассматриваться в гл. 3 .