Задачу о стационарном сверхзвуковом течении также можно решать методами, развитыми для нестационарных волн. Действительно, между задачами из этих двух областей существует тесная аналогия. Двумерное стационарное течение соответствует нестационарным плоским волнам, осесимметричное стационарное течение – цилиндрическим волнам.

Если пренебречь массовыми силами, то стационарное течение можно описать уравнениями
\[
\begin{aligned}

abla \cdot(\rho \mathbf{q}) & =0, \\

abla\left(\frac{1}{2} \mathbf{q}^{2}\right)+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{q} & =-\frac{1}{\rho}
abla p, \\
\mathbf{q} \cdot
abla S & =0 .
\end{aligned}
\]

Эти уравнения получены из (6.49) небольшими изменениями. Удобно использовать векторные обозначения, обозначив вектор скорости через $q$ (поскольку позднее для двумерного течения компоненты скорости будут обозначаться $u$ и $v$ ) и заменив первоначальное выражение $(\mathbf{q} \cdot
abla) \mathbf{q}$ в левой части уравнения (6.150) на указанное эквивалентное выражение, где $\omega=\operatorname{rot} q-$ завихренность.

Здесь можно записать термодинамическое соотношение (6.31) в виде
\[
T d S=d h-\frac{1}{\rho} d p
\]

и, учитывая (6.150) и (6.151), вывести уравнения
\[
\begin{array}{c}

abla\left(\frac{1}{2} \mathbf{q}^{2}+h\right)+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{q}=T
abla S, \\
\mathbf{q} \cdot
abla\left(\frac{1}{2} \mathbf{q}^{2}+h\right)=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, в силу (6.151) и (6.153), энтропия $S$ и «полная энтальшия» $h+1 / 2 q^{2}$ остаются постоянными вдоль линий тока в любой непрерывной части течения. Если непрерывное течение выходит из однородного состояния с $S=S_{0}, h=h_{0}, q=U$ на бесконечности, то имеем
\[
\begin{aligned}
h+\frac{1}{2} q^{2} & =h_{0}+\frac{1}{2} U^{2}, \\
S & =S_{0}
\end{aligned}
\]

по всему течению. Если возникает ударная волна, то эти соотношения следует пересмотреть, поскольку параметры течения могут меняться скачком, когда линии тока пересекают ударную волну, и величина скачка может быть разной для разных линий тока. Но пока будем считать, что эти соотношения выполняются. Тогда уравнение (6.152) сводится к
\[
\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{q}=0 .
\]

Нас интересуют только плоские или осесимметричные течения, для которых $\boldsymbol{\omega}$ и $\mathbf{q}$ ортогональны, так что $\boldsymbol{\omega}=0$, т. е. течение является безвихревым. В трехмерном случае существуют особые течения, так называемые течения Бельтрами, удовлетворяющие равенству (6.156) с $\omega
eq 0$.

Для политропного газа $h=a^{2} /(\gamma-1)$ и уравнение Бернулли (6.154) можно записать в виде
\[
a^{2}=a_{0}^{2}-\frac{\gamma-1}{2}\left(q^{2}-U^{2}\right),
\]

выразив $a$ через $q$. Если течение к тому же изэнтропическое, то $p$ и $\rho$ можно выразить через $a$ и, следовательно, через $q$.

Рассмотрим теперь непрерывное двумерное течение с однородными условиями вверх по течению. Течение ищется на $(x, y)$-плоскости, и $\mathbf{q}=(u, v)$. Поскольку все термодинамические величины, в силу (6.155) и (6.157), являются известными функциями от $q$, необходимы два уравнения для $u$ и $v$. Можно использовать (6.149) и условие отсутствия вихрей $\omega=0$. Остальные уравнения будут удовлетворяться автоматически, в силу тех или других интегралов движения. Имеем
\[
\begin{aligned}
(\rho u)_{x}+(\rho v)_{y} & =0, \\
v_{x}-u_{y} & =0,
\end{aligned}
\]

где $\rho$ выражено через $u$ п $v$ с помощью (6.157). Связь между $a$ и $\rho$ имеет вид $a^{2}$ os $\rho^{\gamma-1}$, откуда
\[
\frac{d \rho}{\rho}=\frac{1}{\gamma-1} \frac{d\left(a^{2}\right)}{a^{2}}=-\frac{u d u+v d v}{a^{2}} .
\]

Следовательно, уравнения можно преобразовать к виду
\[
\begin{aligned}
\left(u^{2}-a^{2}\right) u_{x}+2 u v u_{y}+\left(v^{2}-a^{2}\right) v_{y} & =0, \\
v_{x}-u_{y} & =0,
\end{aligned}
\]

где $a^{2}$ дается равенством (6.157).
Характеристические уравнения
Согласно процедуре, описанной в гл. 5 , следующий шаг состоит в исследовании характеристической формы. Выкладки, хотя и элементарные, довольно сложны, и приходится использовать некие ухищрения, чтобы сделать их как можно короче. Мы начнем с непосредственных вычислений и рассмотрим линейную комбинацию
\[
\left(u^{2}-a^{2}\right) u_{x}+(2 u v-l) u_{y}+l v_{x}+\left(v^{2}-a^{2}\right) v_{y}=0 .
\]

Это уравнение имеет характеристическую форму
если
\[
\left(u^{2}-a^{2}\right)\left(u_{x}+m u_{y}\right)+l\left(v_{x}+m v_{y}\right)=0,
\]
\[
\left(u^{2}-a^{2}\right) m=2 u v-l \quad \text { п } \quad l m=v^{2}-a^{2} .
\]

Величина $m$ должна удовлетворять уравнению
\[
\left(u^{2}-a^{2}\right) m^{2}-2 u v m+\left(v^{2}-a^{2}\right)=0 .
\]

Это уравнение имеет два вещественных корня, если $u^{2}+v^{2}>a^{2}$. Следовательно, система является гиперболической в тех областях, где течение сверхзвуковое. Соответствующие характеристические уравнения имеют вид
\[
\left(u^{2}-a^{2}\right) m \frac{d u}{d x}+\left(v^{2}-a^{2}\right) \frac{d v}{d x}=0 \quad \text { прл } \quad \frac{d y}{d x}=m .
\]

Поскольку имеются только две переменные, дифференциальная форма
\[
\left(u^{2}-a^{2}\right) m d u+\left(v^{2}-a^{2}\right) d v
\]

интегрируема при любом выборе $m$ и можно получить две римановы переменные. Процедура ясна, но в этом месте (зная заранее ответ!) можно воспользоваться маленькой хитростью. При этом следует руководствоваться симметрией.

Поскольку $m$ – наклон характеристики, то (6.160) можно представить как соотношение между дифференциалами $d x$ и $d y$ на характеристике и переписать в виде
\[
\left(u^{2}-a^{2}\right) d y^{2}-2 u v d x d y+\left(v^{2}-a^{2}\right) d x^{2}=0,
\]

или лучте
\[
(u d y-v d x)^{2}=a^{2}\left(d x^{2}+d y^{2}\right) .
\]

Если $\chi$ – угол между характеристикой и осью $x$, а $\theta$ – угол между линией тока и осью $x$, то
\[
\begin{array}{l}
d x=\cos \chi d s, \quad d y=\sin \chi d s, \\
u=q \cos \theta, \quad v=q \sin \theta . \\
\end{array}
\]

Тогда дифференциальное соотношение принимает вид
\[
q^{2} \sin ^{2}(\chi-\theta)=a^{2} .
\]

Но $a$ есть функция от $q$, так что если ввести переменную $\mu$, определяемую условиями
\[
\sin \mu=\frac{a}{q}, \quad 0<\mu<\frac{\pi}{2},
\]

то соотношение (6.163) перейдёт в равенство
\[
\chi=\theta \pm \mu .
\]

Характеристики образуют углы $\pm \mu$ с направлением линий тока. Величина $\mu$ называется углом Маха и связана с $q$ соотношениями (6.164) и (6.157). Ввиду их важной роли мы будем далее работать с двумя независимыми переменными $\mu$ и $\theta$ вместо $q$ и $\theta$ или $u$ и $v$.

Осталось перейти к новым переменным в дифференциальном выражении (6.162) для римановых переменных. На характеристике выражение (6.162) обращается в нуль; следовательно, (6.160) также можно использовать для нахождения связи между $d u$ и $d v$. Эта связь имеет вид
\[
(v d v+u d u)^{2}=a^{2}\left(d u^{2}+d v^{2}\right) .
\]

Используя $q$ и $\theta$, получаем
\[
q^{2} d q^{2}=a^{2}\left(d q^{2}+q^{2} d \theta^{2}\right),
\]

или
\[
d \theta \pm\left(\frac{q^{2}}{a^{2}}-1\right)^{1 / 2} \frac{d q}{q}=0 .
\]

Следовательно, римановы переменные равны
\[
\theta \pm P(\mu),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
P(\mu)=\int\left(\frac{q^{2}}{a^{2}}-1\right)^{1 / 2} \frac{d q}{q}=\int \frac{\cos ^{2} \mu}{\sin ^{2} \mu+(\gamma-1) / 2} d \mu= \\
=\sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}} \operatorname{arctg}\left(\sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}} \operatorname{tg} \mu\right)-\mu . \\
\end{array}
\]

Таким образом, характеристические уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{lll}
\theta+P(\mu)=\mathrm{const} & \text { на } & C_{+}: \frac{d y}{d x}=\operatorname{tg}(\theta+\mu), \\
\theta-P(\mu)=\mathrm{const} & \text { на } & C_{-}: \frac{d y}{d x}=\operatorname{tg}(\theta-\mu) .
\end{array}
\]

Простые волны
Частное решение, для которого одна из римановых переменных постоянна во всей области течения, будем по-прежнему называть простой волной. Такое решение получается при изучении
Рнс. 6.9. Сверхзвуковое течение разреження.

обтекания закругленного угла, изображенного на рис. 6.9. Вверх по течению относительно угла течение однородное, скажем с $\mu=\mu_{0}, \theta=0$. Характеристики $C_{\text {- все }}$ начинаются в этой однородной области; следовательно, на каждой из них
\[
P(\mu)-\theta=P\left(\mu_{0}\right) .
\]

Как следствие эта риманова переменная постоянна во всей области течения. Тогда из уравнений для $C_{+}$следует, что $\mu$ и $\theta$ должны принимать постоянные значения на каждой характеристике $C_{+}$ и каждая характеристика $C_{+}$представляет собой прямую с наклоном $\operatorname{tg}(\theta+\mu)$. Поскольку граничные значения $\theta=\theta_{w}$ определяются профилем угла $y=Y_{w}(x)$, решение можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
\theta=\theta_{w}(\xi), \quad P\left(\mu_{w}\right)=P\left(\mu_{0}\right)+\theta_{w}, \\
y=Y_{w}(\xi)+(x-\xi) \operatorname{tg}\left(\theta_{w}+\mu_{w}\right) .
\end{array}
\]

Имеется близкая аналогия с задачей о поршне, как в формулах для решения (ср. (6.76) – (6.77)), так и в выводе формул. При этом
\[
y \leftrightarrow x, \quad x \leftrightarrow t, \quad \xi \leftrightarrow \tau .
\]

Все представляющие интерес величины можно вычислить по найденным значениям $\mu$ и $\theta$. Особый интерес представляет

Рис. 6.10. Центрированный веер Прандтля – Мейера для сверхзвукового обтекания угла.

давтение у стенки, и для его нахождения требуется только инвариант Римана (6.168); значение $\mu_{w}$ определяется по $\theta_{w}$, а давление связано с $\mu$ соотношением
\[
\frac{p}{p_{0}}=\left(\frac{a}{a_{0}}\right)^{2 \gamma /(\gamma-1)}=\left\{\frac{1+(\gamma-1) /\left(2 \sin ^{2} \mu_{0}\right)}{1+(\gamma-1) /\left(2 \sin ^{2} \mu\right)}\right\}^{\gamma /(\gamma-1)} .
\]

В предельном случае, соответствующем углу, изображенному на рис. 6.10 , простая волна переходит в веер характеристик (веер Прандтля – Мейера) и решение в области веера дается равенствами
\[
\begin{array}{l}
P(\mu)-\theta=P\left(\mu_{0}\right), \\
\operatorname{tg}(\theta+\mu)=\frac{y}{x} .
\end{array}
\]

Когда наличие угла приводит к сжатию, образуются области многозначности, связанные с пересечениями характеристик (как показано на рис. 6.11), и возникает разрыв (ударная волна). Предельный случай профиля с угловой точкой изображен на рис. 6.12. Если появляется ударная волна, то различные первые интегралы вдоль линий тока и вдоль $C_{-}$, вообще говоря, уже

не обязаны сохраняться, поскольку параметры потока меняются скачком при переходе через разрыв (ударную волну). Однако эта ситуация очень похожа на ситуацию для соответствующих нестационарных задач, рассмотренных выше. Для слабых ударных волн эти первые интегралы сохраняются с точностью до членов
Ріс. 6.11. Образование ударной волны в сверхзвуковом течении.
Рис. 6.12. Образование ударной волны при сверхзвуковом обтекании клина.

первого порядка и решение типа простой волны справедливо в первом порядке по величине возмущения. Для полного описания следует только ввести соответствующие разрывы.
Соотношения для косой ударной волны
Нам потребуются условия на разрыве для косой ударной волны, изображенной на рис. 6.12. Их легко получить из соответствующих соотношений (6.95) – (6.97) для ударной волны, фронт которой ортогонален направлению движения. Если течение на рис. 6.12 рассматривается наблюдателем, движущимся со скоростью $q_{1} \cos \beta$ вдоль ударной волны, то течение со стороны 1 будет представляться направленным по нормали к ударной волне. Тогда равенства (6.95) – (6.97) дают соотношения для прямой ударной волны с $v_{1}=q_{1} \sin \beta, v_{2}=q_{2} \sin (\beta-\theta)$. Кроме того, в этой движущейся системе координат течение одномерно и, следовательно, со стороны 2 тоже направлено по нормалям к ударной волне. Отсюда $q_{1} \cos \beta=q_{2} \cos (\beta-\theta)$. Полную систему условий на разрыве можно записать (в несколько более общей форме, учитывающей угол наклона $\theta_{1}$ скорости в области до разрыва относительно некоторого фиксированного направления) в следующем виде:
\[
\begin{aligned}
\rho_{2} q_{2} \sin \left(\beta-\theta_{2}\right) & =\rho_{1} q_{1} \sin \left(\beta-\theta_{1}\right), \\
p_{2}+\rho_{2} q_{2}^{2} \sin ^{2}\left(\beta-\theta_{2}\right) & =p_{1}+\rho_{1} q_{1}^{2} \sin ^{2}\left(\beta-\theta_{1}\right), \\
q_{2} \cos \left(\beta-\theta_{2}\right) & =q_{1} \cos \left(\beta-\theta_{1}\right), \\
h_{2}+\frac{1}{2} q_{2}^{2} \sin ^{2}\left(\beta-\theta_{2}\right) & =h_{1}+\frac{1}{2} q_{1}^{2} \sin ^{2}\left(\beta-\theta_{1}\right) .
\end{aligned}
\]

Условия на разрыве можно вывести п непосредственно из уравнений для стационарного течения в форме законов сохранения. В этом случае они связаны с законами сохранения массы, нормального импульса, касательного импульса и энергии соответственно. Можно отметить, что $h+1 / 2 q^{2}$ на самом деле непрерывна, так что рассуждения, приводящие к равенству (6.154), остаются справедливыми. Однако энтропия и инвариант Римана претерпевают разрыв.

Условия на разрыве определяют $p_{2}, \rho_{2}, q_{2}, \beta$ по $p_{1}, \rho_{1}, q_{1}, \theta$, и их можно использовать для точного решения задачи, изображенной на рис. 6.12. Если профиль имеет угловую точку как, например, крыло сверхзвукового самолета, то простую волну можно использовать в качестве приближенного решения, когда все значения $\theta$ малы. Три из условий на разрыве удовлетворяются с точностью до членов первого порядка соотношениями для простой волны, оставшееся используется для построения линии разрыва. При помощи равенств (6.172) можно показать, что
\[
\beta=\mu_{1}+\frac{\mu_{2}-\mu_{1}+\theta}{2}+O\left(\theta^{2}\right) .
\]

Следовательно, с точностью до членов второго порядка по $\theta$ и $\mu_{2}-\mu_{1}$ ударная волна делит угол между характеристиками пополам. Это соответствует равенству (6.113), и введение разрыва почти повторяет аналогичные шаги для нестационарного случая. Такая процедура будет проведена ниже при рассмотрении более интересного случая ударной волны, возникающей на носике осесимметричного тела.
Отражение косой волны
Последнее замечание (оно будет использовано в дальнейшем) касается отражения косой ударной волны от плоской стенкп.
Рпс. 6.13. Регулярное отражение ударной волны.

Возможная картина течения изображена на рис. 6.13. Если известны исходное однородное состояние и угол $\beta$, то, используя условия на разрыве для областей 1 и 2 , можно определить все параметры течения в области 2. Тогда в области 3 известна величина $\theta$, поскольку поток там направлен вдоль стенки, так что условий на разрыве для областей 2 и 3 достаточно для определения остальных параметров течения в области 3 и угла отражения $\beta_{r}$.

Важный результат этого анализа состоит в том, что предложенное решение годится только для определенного класса случаев. Если ударная волна достаточно слаба или падает под достаточно малым скользящим углом, то решения не существует. Оказывается, что любая отраженная ударная волна, которая сопрягается с областью 2 , не в состоянии повернуть течение в области 3
Рис. 6.14. Отражение Маха.

параллельно стенке. Стенка как бы отталкивает всю эту структуру линий разрыва, и образуется картина с тремя ударными волнами, показанная на рис. 6.14. Такое отражение называется «отражением Маха» в честь Эрнста Маха, который впервые наблюдал его экспериментально. Анализ этого явления еще не завершен, причем некоторые теоретические результаты явно не согласуются с наблюдениями.