Один из подходов к решению уравнения (2.2) состоит в следующем. Рассмотрим функцию $\rho(x, t)$ на ( $x, t)$-плоскости и обратим внимание на то, что $\rho_{t}+c(\rho) \rho_{x}$ представляет собой полную производную функции $\rho$ вдоль кривой, которая в каждой своей точке имеет наклон
\[
\frac{d x}{d t}=c(\rho)
\]

Вдоль каждой кривой, лежащей на ( $x, t$ )-плоскости, можно рассматривать $x$ и $\rho$ как функции от $t$, так что полная производная функции $\rho$ равна
\[
\frac{d \rho}{d t}=\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{d x}{d t} \frac{\partial \rho}{\partial x} .
\]

Использования символа полной производной достаточно для выделения случаев, когда $x$ и $\rho$ рассматриваются как функции от $t$ вдоль некоторой кривой; введение для каждого такого случая новых обозначений в конце концов становится неудобным.

Рассмотрим теперь кривую $\mathscr{C}$ на $(x, t)$-плоскости, удовлетворяющую уравнению (2.3). Конечно, такую кривую нельзя заранее найти в явном виде, поскольку уравнение (2.3) содержит неизвестные нам значения $\rho$ на этой кривой. Однако ее рассмотрение приведет нас к одновременному построению возможной кривой $\mathscr{C}$ и решения $\rho$ на ней. Из выражения для полной производной и из уравнения (2.2) получаем, что на этой кривой
\[
\frac{d \rho}{d t}=0, \quad \frac{d x}{d t}=c(\rho) .
\]

Прежде всего заметим, что на $\mathscr{C}$ функция $\rho$ сохраняет постоянное значение. Отсюда следует, что и $c(\rho)$ остается постоянной на $\mathscr{C}$, и, следовательно, кривая $\mathscr{C}$ на $\left(x,{ }^{\prime} t\right)$-плоскости представляет собой прямую с наклоном $c(\rho)$. Таким образом, общее решение уравнения (2.2) сводится к построению на ( $x, t$ )-плоскости семейства прямых, каждая из которых имеет наклон $c(\rho)$, соответствующий значению функции $\rho$ на ней. Это легко делается в любой конкретной задаче.
Возьмем, например, задачу с начальным условием
\[
\rho=f(x), \quad t=0, \quad-\infty<x<\infty,
\]

и обратимся к $(x, t)$-диаграмме на рис. 2.1. Если какая-либо прямая $\mathscr{C}$ пересекает ось $O x$ в точке $x=\xi$, то $\rho=f(\xi)$ на всей этой прямой. При этом наклон данной шрямой равен $c(f(\xi))$, что мы будем обозначать через $F(\xi)$. Таким образом, $F(\xi)$ является известной функцией от $\xi$, вычисляемой при помощи функции $c(\rho)$ из

исходного уравнения и функции $f(\xi)$, заданной начальным условием. Уравнение кривой $\mathscr{C}$ имеет вид
\[
x=\xi+F(\xi) t .
\]

Оно выделяет тидичную кривую, причем значение функции $\rho$ на ней равно $f(\xi)$. Меняя параметр $\xi$, получаем все семейство кривых
\[
\rho=f(\xi), \quad c=F(\xi)=c(f(\xi)),
\]

каждая из которых описывается уравнением
\[
x=\xi+F(\xi) t .
\]

Теперь можно изменить точку зрения и рассматривать формулы (2.5) и (2.6) как аналитическое выражение для решения, не зв-
Рис. 2.1. Диаграмма характеристик для нелпнейных волн.

висящее от конкретного способа построения. Это значит, что величина $\rho$ определяется равенствами (2.5), где $\xi(x, t)$ неявно задается уравнением (2.6). Проверим, что эти равенства действительно. определяют репение. Из (2.5) имеем
\[
\rho_{t}=f^{\prime}(\xi) \xi_{t}, \quad \rho_{x}=f^{\prime}(\xi) \xi_{x},
\]

а дифференцируя по $x$ и $t$ равенство (2.6), получаем
\[
\begin{array}{l}
0=F(\xi)+\left\{1+F^{\prime}(\xi) t\right\} \xi_{t}, \\
1=\left\{1+F^{\prime}(\xi) t\right\} \xi_{x} .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\rho_{t}=-\frac{F(\xi) f^{\prime}(\xi)}{1+F^{\prime}(\xi) t}, \quad \rho_{x}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{1+F^{\prime}(\xi) t},
\]

откуда
\[
\rho_{t}+c(\rho) \rho_{x}=0,
\]

поскольку $c(\rho)=F(\xi)$. Начальное условие $\rho=f(x)$ вышолнено, так как $\xi=x$ при $t=0$.

Кривые, использованные при построении этого решения, являются характеристиками рассматриваемого уравнения. Аналогичные характеристики играют важную роль во всех задачах, связанных с гиперболическими дифференциальными уравнениями. В общем случае решение не обязательно остается постоянным
‘Рис. 2.2. Опрокидывающаяся волна. Построены профили, соответствующие моментам времені $0, t_{1}, t_{B}, t_{3}$ (см. рис. 2.1).

вдоль характеристик. Это имеет место в частном случае уравнения (2.2), но не является определяющим свойством характеристик. Общее определение будет дано ниже, а пока что нам удобно называть характеристиками кривые, заданные уравнением (2.3).

Основная черта волнового процесса заключается в том, что некоторое характерное возмущение движется с конечной скоростью. Для гиперболических уравнений это явление связано с характеристиками. Каждая характеристика в $(x, t)$-пространстве описывает некоторую волну в $x$-пространстве, а поведение решения на характеристике соответствует идее переноса этой волновой информации. В этом плане равенства (2.4) можно трактовать как утверждение, что различные значения $\rho$ «распространяются» со скоростью $c(\rho)$. Действительно, решение в момент времени $t$ можно построить, передвинув каждую точку на исходной кривой $\rho=$ $=f(x)$ на расстояние $c(\rho) t$ вправо, причем эти расстояния различны для различных значений $\rho$. Это показано на рис. 2.2 для случая $c^{\prime}(\rho)>0$; соответствующие моменты времени отмечены на рис. 2.1. Зависимость $c$ от $\rho$ приводит к типичному нелинейному

эффекту: искажению профиля распространяющейся волны. При $c^{\prime}(\rho)>0$ большие значения $\rho$ распространяются быстрее, чем малые. При $c^{\prime}(\rho)<0$ большие значения $\rho$ распространяются медленнее, чем малые, и искажение волны имеет вид, противоположный изображенному на рис. 2.2. В линейном случае скорость $c$ постоянна и волна перемещается на расстояние $c t$ без изменения формы.

Из рис. 2.2 видно, что наши рассуждения далеко не полны. Любая сжимающаяся часть волны, у которой скорость распространения является убывающей функцией от $x$, обязательно «опрокидывается», давая трехзначное решение $\rho(x, t)$. Опрокидывание начинается в указанный на рис. 2.2 момент времени $t=t_{B}$, когда на профиле $\rho$ впервые появляется точка с вертикальной касательной. Аналитическое решение (2.7) подтверждает это и позволяет определить время начала опрокидывания $t_{B}$. На каждой характеристике, на которой $F^{\prime}(\xi)<0$, производные $\rho_{x}$ и $\rho_{t}$ обращаются в бесконечность, когда
\[
t=-\frac{1}{F^{\prime}(\xi)} .
\]

Следовательно, опрокидывание впервые происходит на характеристике $\xi=\xi_{B}$, для которой $F^{\prime}(\xi)<0$ и $\left|F^{\prime}(\xi)\right|$ принимает наибольшее значение; при этом время начала первого опрокидывания равно
\[
t_{B}=-\frac{1}{F^{\prime}\left(\xi_{B}\right)} .
\]

За развитием этого процесса можно проследить и в $(x, t)$-плоскости. Сжимающаяся часть волны с $F^{\prime}(\xi)<0$ имеет сходящиеся характеристики; поскольку характеристики являются прямыми, то они в конце концов пересекаются, как на рис. 2.1, образуя область, где решение многозначно. Эту область можно рассматривать как складку на $(x, t)$-плоскости, состоящую из трех листов с различными значениями $\rho$ на каждом из них. Границей этой области является огибающая характеристик. Семейство характеристик определяется уравнением (2.6), где $\xi$ – параметр. Условие пересечения двух соседних характеристик $\xi$ и $\xi+\delta \xi$ в некоторой точке $(x, t)$ состоит в том, что равенства

и
\[
x=\xi+F(\xi) t
\]
\[
x=\xi+\delta \xi+F(\xi+\delta \xi) t
\]

выполняются одновременно. В пределе $\delta \xi \rightarrow 0$ они дают
\[
x=\xi+F(\xi) t \quad \text { и } \quad 0=1+F^{\prime}(\xi) t,
\]
т. е. неявные уравнения огибающей. Второе из этих соотношений указывает, что огибающая образуется при $t>0$ теми характери-

стиками, для которых $F^{\prime}(\xi)<0$. Минимальное значение $t$ на этой огибающей достигается при вначении $\xi$, для которого $-F^{\prime}(\xi)$ имеет наибольшее значение. Это время начала первого опрокидывания в соответствии с равенством (2.8). Если $F^{\prime \prime}(\xi)$ непрерывна, то огибающая имеет заострение при $t=t_{B}$, $\xi=\xi_{B}$, как можно усмотреть на рис. 2.1.
Рис. 2.3. Центрированная волна сжатия с захлестыванием.
В предельном случае опрокидывание происходит, когда исходное распределение имеет разрыв, причем значение $c(\rho)$ за точкой разрыва больше, чем перед ней. Если мы имеем исходные функции
\[
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\rho_{1}, & x>0, \\
\rho_{2}, & x<0
\end{array}\right.
\]

И
\[
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}
c_{1}=c\left(\rho_{1}\right), & x>0, \\
c_{2}=c\left(\rho_{2}\right), & x<0
\end{array}\right.
\]

с $c_{2}>c_{1}$, то опрокидывание наступает мгновенно. Это показано на рис. 2.3 для случая $c^{\prime}(\rho)>0, \rho_{2}>\rho_{1}$. Область многозначности начинается прямо из начала координат и ограничена характеристиками $x=c_{1} t$ и $x=c_{2} t$; граница уже не имеет заострения, поскольку функция $F$ и ее производные имеют разрыв. Однако наш случай можно рассматривать как предел последовательности сгла-

женных ступенек, причем точка начала опрокидывания приближается к началу координат по мере того, как исходный профиль приближается к разрывной ступеньке.
С другой стороны, если исходная ступенька соответствует расщирению $\left(c_{2}<c_{1}\right.$ ), то существует вполне пригодное непрерывное
Pıс. 2.4. Центрированная волна расширения.

репение. Его можно получить, переходя в равенствах (2.5) и (2 6) к пределу, в котором все значения $F$, заключенные между $c_{\text {a }}^{\text {и }}$ и $c_{1}$, принимаются на характеристиках, проходящих јчерез начало координат. Это соответствует вееру характеристик на ( $x, t$ )-плоскости, как показано на рис. 2.4. Каждая характеристика этого веера имеет свой наклон $F$, но все они имеют одно и то же значение $\xi$. Функция $F$ имеет вид ступеньки, но мы используем все значения $F$, заключенные между $c_{2}$ и $c_{1}$, и считаем, что всем этим значениям отвечает $\xi=0$. Рещения уравнений (2.5) и (2.6) в этом случае имеют вид
\[
c=F, \quad x=F t \quad \text { при } c_{2}<F<c_{1} .
\]

Исключая $F$, получаем простое явное выражение для $c$
\[
c=\frac{x}{t}, \quad c_{2}<\frac{x}{t}<c_{1} .
\]

Полное решение для $c$ имеет вид
\[
c=\left\{\begin{array}{ll}
c_{1}, & c_{1}<x / t, \\
x / t, & c_{2}<x / t<c_{1}, \\
c_{2}, & x / t<c_{2} .
\end{array}\right.
\]

Решая уравнение $c=c(\rho)$, определим $\rho$. Для сжимающейся ступеньки с $c_{2}>c_{1}$ веер на ( $\left.x, t\right)$-плоскости «выворачивается», что приводит к захлестыванию, изображенному на рис. 2.3.

В большинстве физических задач, в которых встречается это уравнение, функция $\rho(x, t)$ является плотностью некоторой среды и по самой своей сущности однозначна. Поэтому, когда начинается опрокидывание, уравнение (2.2) перестает правильно описывать физический процесс. Даже в случаях, подобных волнам на воде, где многозначное решение для высоты поверхности можно по крайней мере интерпретировать, оказывается, что уравнение (2.2) не подходит для описания процесса. Дело в том, тто какое-либо из предположений или приближенных соотнопений, лежащих в основе уравнения (2.2), перестает быть справедливым.

В принципе следует вернуться к физической постановке задачи, посмотреть, что неверно, и вывести исправленное уравнение. Однако, как мы увидим в дальнейшем, оказывается, что предыдущее репение можно спасти, допустив наличие разрывных решений; в этом случае вместо многозначного непрерывного решения будем иметь однозначное решение с разрывом первого рода. Данная процедура требует некоторого расширения математического понятия «решения» уравнения (2.2), поскольку, строго говоря, функция $\rho$ не имеет производных в точках разрыва. Такое расширение осуществляется при помощи понятия «слабого решения».

Важно сознавать, однако, что в действительности дело заключается не просто в математическом расширении понятия решения уравнения (2.2). Нарушение непрерывности решения связано с нарушением некоторого физического приближенного соотношения, и оба эти аспекта следует рассматривать одновременно. Оказывается, например, что существуют несколько подходящих с математической точки зрения семейств разрывных решений, причем вопрос о единственности можно репить, только обратившись к физической стороне задачи.

Ясно поэтому, что нельзя двигаться дальше, не обсудив предварительно некоторые физические проблемы. Первоначальное развитие теории связано с нелинейными волнами в газах и образованием ударных волн. Если пренебречь вязкостью и теплопроводностью, то у уравнений газовой динамики появятся опрокидывающиеся репения, подобные рассмотренным. В тот момент, когда градиенты становятся большими, т. е. перед началом опрокидывания, эффектами вязкости и теплопроводности уже нельзя пре-

небрегать. Эти эффекты можно включить в улучшенную теорию, и волны в этой теории не будут больше опрокидываться. Имеется узкая область, ударная волна, в которой вязкость и тешлопроводность играют решающую роль; вне ударной волны вязкостью и теплопроводностью можно по-прежнему пренебрегать. Параметры течения резко изменяются в области ударной волны. В распиренной теории без вязкости эта область идеализированно представляется поверхностью разрыва, и остается добавить лишь условия на разрыве, связывающие скачки значений параметров течения.

Мы подробно изучим различные стороны этого явления. Однако газовая динамика не является простейшим примером, поскольку она описывается уравнениями высших порядков, так что мы сначала обсудим основные идеи на примере более простых задач первого порядка. Следует тем не менее помнить, что первоисточником этих идей явилась газовая динамика и что мы нарушаем хронологический порядок. Основы теории были заложены Пуассоном [1], Стоксом [2], Риманом [1], Эрнпоу [1], Рэнкином [1], Гюгонио [1], Рәлеем [1], Тейлором [1] – весьма впечатляющий список. Время, которое на это потребовалось, показывает, что связать воедино различные стороны явления оказалось довольно сложным делом.