Применим теперь вариационный подход к некоторым задачам теории волн па воде. Вариационный принцип дается равенствами (13.16) – (13.17) из § 13.2, а приближенный анализ Стокса и Кортевега – де Фриза, подтверждаемый последующими доказательствами математических теорем существования, убеждает в существовании периодических диспергирующих волновых пакетов. Поскольку $\varphi$ – потенциал и в лагранжиане фигурируют только его производные, наиболее общая форма периодического волнового пакета такова:
\[
\varphi=\beta x-\gamma t+\Phi(\theta, y), \quad \theta=k x-\omega t, \quad \eta=N(\theta) ;
\]

здесь Ф $\theta, y)$ и $N(\theta)$ – периодические функции от $\theta$. Параметр $\beta$ – средняя горизонтальная скорость $\varphi_{x}$, а величина $\gamma$ связана со средней высотой волн. В однородном случае можно выбрать систему отсчета, в которой $\beta=0$ и средняя высота равна нулю, что делалось и ранее (см. (13.120) и (13.121)). Заметим, что $\gamma
eq 0$ даже при таком выборе.

В теории модуляций изменения средней скорости и средней высоты связаны с изменениями амплитуды. Вследствие этого $\beta, \gamma$ и соответствующий параметр для средней высоты следует оставить свободными. Нелинейная связь амплитудных модуляций со средней скоростью и высотой является важным физическим әффектом и допускает естественное математическое описание. Это первый пример ситуации, введенной формулами (14.62) и обсуждавпейся в § 14.7.

В низшем порядке модуляционного приближения усредненный лагранжиан находится подстановкой периодического решения (16.68) в выражение (13.17). Для начала мы рассмотрим случай, когда дно горизонтально, и выберем начало отсчета $y=0$ у дна, так что $h_{0}=0$. Имеем
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} L d \theta,
\]

где
\[
\begin{aligned}
L=\int_{0}^{N(\theta)} \rho\left\{\gamma+\omega \Phi_{\theta}-\frac{1}{2}\left(\beta+k \Phi_{\theta}\right)^{2}-\frac{1}{2} \Phi_{y}^{2}-g y\right\} d y= \\
=\rho\left(\gamma-\frac{1}{2} \beta^{2}\right) N-\frac{1}{2} \rho g N^{2}+(\omega-\beta k) \rho \int_{0}^{N} \Phi_{\theta} d y- \\
-\rho \int_{0}^{N}\left(\frac{1}{2} k^{2} \Phi_{\theta}^{2}+\frac{1}{2} \Phi_{y}^{2}\right) d y .
\end{aligned}
\]

Поскольку точные выражения для $\Phi(\theta, y)$ и $N(\theta)$ неизвестны, для дальнейшего исследования необходимо принять либо почти линейные разложения Стокса, либо длинноволновую теорию Буссинеска и Кортевега – де Фриза. Мы воспользуемся анализом Стокса. Периодические функции Ф $(\theta, y)$ и $N(\theta)$ представляются в виде рядов Фурье
\[
\begin{array}{l}
\Phi(\theta, y)=\sum_{1}^{\infty} \frac{A_{n}}{n} \operatorname{ch} n k y \sin n \theta, \\
N(\theta)=h+a \cos \theta+\sum_{2}^{\infty} a_{n} \cos n \theta .
\end{array}
\]

Основными параметрами в конце кондов будут триады $(\omega, k, a$ ) и $(\gamma, \beta, h)$; здесь $a$ – амплитудный параметр, а $h$ – средняя высота поверхности воды. Можно заранее предіоложить, что коэффициенты $a_{n}$ и $A_{n}$ для малых амплитуд будут иметь порядок $O\left(a^{n}\right)$. Подставляя разложения (16.71) и (16.72) в (16.69) и (16.70), получа-

ем выражение для $\mathscr{L}$ в любом желаемом порядке по $a$. Основной интерес представляют первые нелинейные члены $\mathscr{L}$, которые имеют порядок $a^{4}$, так что удобно вычислить $\mathscr{L}$ до членов этого порядка включительно. В соответствующее выражение кроме двух основных триад войдут коэффициенты $A_{1}, A_{2}$ и $a_{1}$, но их можно исключить, решив вариационные уравнения
\[
\mathscr{L}_{A_{\mathbf{1}}}=0, \quad \mathscr{L}_{A_{2}}=0, \quad \mathscr{L}_{a_{1}}=0
\]

относительно $A_{1}, A_{2}, a_{1}$ и подставив результаты в $\mathscr{L}$. Эти выкладки утомительны, но неизбежны, какой бы подход не использовался. В целом получить соотношения для $A_{1}, A_{2}$ п $a_{1}$ при помощи вариационного принципа несколько проще, чем непосредственно из уравнений, как в § 13.13. Этот способ обладает и тем преимуществом, что $\mathscr{L}$ определяется раз и навсегда, а все остальные величины, такие, как масса, импульс и поток энергии, просто выводятся из него без повторения аналогичных алгебраических выкладок. Окончательное выражение для $\mathscr{L}$ имеет вид
\[
\begin{array}{r}
\mathscr{L}=\rho\left(\gamma-\frac{1}{2} \beta^{2}\right) h-\frac{1}{2} \rho g h^{2}+\frac{1}{2} E\left\{\frac{(\omega-\beta k)^{2}}{g k \operatorname{th} k h}-1\right\}- \\
-\frac{1}{2} \frac{k^{2} E^{2}}{\rho g}\left\{\frac{9 T^{4}-10 T^{2}+9}{8 T^{4}}\right\}+O\left(E^{3}\right),
\end{array}
\]

где
\[
E=\frac{1}{2} \rho g a^{2}, \quad T=\operatorname{th} k h .
\]

Ниже будет показано, что $E$ – плотность энергии для линейных волн, распространяющихся по спокойной воде. Эту величину удобно использовать в качестве амплитудного параметра (вместо $a$ ). В общем случае изменения средних значений ( $\gamma, \beta, h)$ связаны с волновым движением, и будет видно, что эти изменения имеют порядок $O\left(a^{2}\right)$. Следовательно, в члене с $a^{4}$ корректно заменить $h$ на невозмущенную глубину $h_{0}$, а $T$ – на
\[
T_{0}=\operatorname{th} k h_{0} .
\]

В членах низших порядков важно, однако, сохранить $h$. В первоначальном выводе выражения для $\mathscr{L}$ (Уизем [11]) предполагалось, что $\gamma$ и $\beta$ имеют порядок $O\left(a^{2}\right)$, поскольку изучался случай распространения волн по спокойной воде. Но выражение (16.73) в действительности верно и без такого ограничения. Это расширение позволяет изучать, например, волны на потоках, где изменения параметра $\beta$, обусловленные волнами, имеют порядок $O\left(a^{2}\right)$, но сам параметр $\beta$ включает ненулевое невозмущенное значение скорости потока.

Принятая выше форма лагранжиана $\mathscr{L}$ зависит от выбора нулевого уровня потенциальной энергии. При выводе выражения (16.73) из (13.17) нулевой уровень принимался у дна, которое счи-

талось горизонтальным. В более общем случае положим, что на средней поверхности воды $y=b$, а у дна $y=-h_{0}$; тогда в выражении (16.73) член $1 / 2 \rho g h^{2}$ заменяется на
\[
\frac{11}{2} \rho g b^{2}-\frac{1}{2} \rho g h_{0}^{2},
\]

а прочие члены остаются прежними, но $h$ заменяется на $h_{0}+b$. Эту модификацию следует использовать в том случае, когда дно не является горизонтальным и, следовательно, больше не может служить уровнем отсчета потенциальной энергии. Мы будем считать дно горизонтальным и использовать выражение (16.73), если явно не оговорено противное.