Подобные рассуждения применимы к волнам, распространяющимся вдоль неоднородного потока, имеющего скорость $U_{0}(x)$, что можно считать следствием изменения глубины $h_{0}(x)$ или подтока жидкости снизу. В этом случае имеем равенство
$\omega=k U_{0}(x)+\omega_{0}(k)=k U_{0}(x)+\left\{g k \text { th } k h_{0}(x)\right\}^{1 / 2}=$ const
для определения $k(x)$ и равенство
\[
-\mathscr{L}_{k}=\frac{E}{\omega_{0}}\left\{U_{0}(x)+C_{0}(x)\right\}=\mathrm{const}
\]

для определения амплитуды. В случае глубокой воды
\[
\omega_{0}=(g k)^{1 / 2}, \quad c_{0}=\left(\frac{g}{k}\right)^{1 / 2}, \quad C_{0}=\frac{1}{2} c_{0}
\]

и результаты можно представить в виде
\[
\begin{array}{l}
k U_{0}+(g k)^{\mathbf{1 / 2}}=\text { const }, \\
E c_{0}\left(2 U_{0}+c_{0}\right)=\text { const. }
\end{array}
\]

Эти выражения впервые были получены Jонге-Хиггинсом и Стюартом [2] после подробного непосредственного анализа уравнений движения. Для волн, движущихся навстречу потоку, формулы дают особенность, предсказывающую, что $E \rightarrow \infty$, когда величина групповой скорости приближается к скорости потока. На этой стадии следующие члены порядка $E^{2}$ становятся решающими и определяют конечный результат. Этот вопрос был изучен Креппером [1] и Холлидеем [1].

Уравнение Кортевега – де Фриза
Завершая эту главу, построим теорию модуляций для уравнений Кортевега – де Фриза. Этот вывод имеет ряд специфических черт, и для получения точных соотношений на характеристиках необходимы нетривиальные приемы. По-видимому, их стоит здесь описать, учитывая центральное положение данного уравнения в изучаемом предмете и возможные связи с дальнейшим анализом его точного решения.