Частное решение в виде одиночного горба можно получить при начальном условии
\[
F(x)=c_{0}+A \delta(x) .
\]

Параметр $A$ согласуется с формулой (4.21), и число Рейнольдса составляет $R=A /(2 v)$. Постоянную $c_{0}$, не теряя общности, можно опустить, поскольку подстановка
\[
c=c_{0}+\tilde{c}, \quad x=c_{0} t+\tilde{x}
\]

приводит уравнение Бюргерса к виду
\[
\tilde{c}_{t}+\tilde{c c_{\tilde{x}}}=v \tilde{c}_{\widetilde{x}} \tilde{x} .
\]

Это исключение $c_{0}$ эквивалентно переходу в систему координат, движущуюся со скоростью $c_{0}$. Таким образом, будем рассматривать только случай
\[
F(x)=A \delta(x) .
\]

Нижний предел в интеграле, входящем в формулу (4.11), можно считать произвольным, поскольку правая часть (4.10) от него не вависит. Следовательно, можно положить его равным +0 , включив $\delta$-функдию при $\eta<0$ и исключив ее при $\eta>0$. Тогда
\[
G=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{(x-\eta)^{2}}{2 t}, & \eta>0, \\
\frac{(x-\eta)^{2}}{2 t}-A, & \eta<0 .
\end{array}\right.
\]

Интегралы в числителе дроби (4.10) вычисляются, а интегралы в знаменателе выражаются через дополнительный интеграл ошибок. Результат таков:

То, что решение должно иметь вид
\[
c=\sqrt{\frac{\bar{v}}{t}} f\left(\frac{x}{\sqrt{v t}}, \frac{A}{v}\right),
\]

можно было предсказать, исходя из соображений размерности. В задачу входят только два размерных параметра $A$ и $v$, оба имеющие размерность $L^{2} T^{-1}$; нет отдельных параметров с размерностью длины и времени, которые могли бы служить масштабами для $x$ и $t$ по отдельности.

Когда $R \rightarrow 0$, следует ожидать, что диффузия доминирует над нелинейностью. При $R \ll 1$ знаменатель в (4.30) равен $\sqrt{\pi}+O(R)$ равномерно по $x, t, v$; поэтому $c$ можно приближенно представить в виде:
\[
c(x, t)=\sqrt{\frac{v}{\pi t}} R e^{-x^{2} /(4 v t)}=\frac{A}{\sqrt{4 \pi v t}} e^{-x^{2} /(4 v t)} .
\]

Это функция источника для уравнения теплопроводности $c_{t}=$ $=v c_{x x}$, так что нати ожидания оправдались.

Для обсуждения поведения решения при больпих $R$ удобно ввести безразмерную переменную $z=x / \sqrt{2 A t}$ и переписать (4.30)

в виде
\[
\begin{aligned}
c & =\sqrt{\frac{2 A}{t}} g(z, R), \\
g(z, R) & =\frac{\left(e^{R}-1\right)}{2 \sqrt{\bar{R}}} \frac{e^{-z^{2} R}}{\sqrt{\pi}+\left(e^{R}-1\right) \int_{z \bar{R}}^{\infty} e^{-\zeta^{2} d \zeta}}, \\
z & =\frac{x}{\sqrt{2 A t}} .
\end{aligned}
\]

Рассмотрим теперь поведение функции $g$ при $R \rightarrow \infty$ для различных интервалов $z$. Во всех случаях $e^{R}-1$ можно приближенно заменить на $e^{R}$, полагая

Если $z<0$, то интеграл стремится к
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\xi^{2}} d \zeta=\sqrt{\pi}
\]

следовательно, $g \rightarrow 0$ по крайней мере как $1 / \sqrt{R}$. Если $z>0$, то интеграл становится малым и можно использовать асимптотическое равенство
\[
\int_{\eta}^{\infty} e^{-\xi^{2}} d \zeta \approx \frac{e^{-\eta^{2}}}{2 \eta} \quad \text { при } \eta \rightarrow \infty .
\]

Следовательно,
\[
g \sim \frac{z}{1+2 z \sqrt{\pi R} e^{R\left(z^{2}-1\right)}}, \quad z>0, \quad R \rightarrow \infty .
\]

При $0<z<1$ имеем
\[
g \sim z, \quad 0<z<1, \quad R \rightarrow \infty .
\]

Если же $z>1$, то $g \rightarrow 0$ при $R \rightarrow \infty$. Таким образом, $g \rightarrow 0$ всюду, за исключением интервала $0<z<1$, в котором $g \sim z$. В исходных переменных этот результат записывается так:
\[
c \sim\left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{t} \text { при } 0<x<\sqrt{2 A t}, \\
0 \text { в противном случае. }
\end{array}\right.
\]

Это и есть соответствующее решение уравнения (4.4) с разрывом в точке $x=\sqrt{2 A t}$. Скорость ударной волны равна $U=\sqrt{A /(2 t)}$,

а $c$ меняется скачком от нуля до $\sqrt{2 A / t}$, так что условие на разрыве (4.5) выполнено.

То же самое выражение (с $c_{0}=0$, согласно принятому выше соглашению) было получено в (2.52) для асимптотического поведения решения уравнения (4.4) в случае одиночного горба произвольной формы. Там была асимптотика в другом смысле, исследовалось поведение решения при $t \rightarrow \infty$ в рамках описания, даваемого уравнением (4.4). Для начальных условий в виде $\delta$-функции подобная асимптотика получается немедленно.

Разрыв находится в точке $z=1$, и для болыпих, но конечных $R$ выражение (4.34) дает быстрый переход от экспоненциально малых значений при $z>1$ к $g \sim z$ при $z<1$. В этой переходной области ударной волны $z \approx 1$ (4.34) можно приближенно переписать так:
\[
g \approx \frac{1}{1+2 \sqrt{\pi R} e^{2 R(z-1)}} .
\]

В исходных переменных получаем
\[
c \approx \sqrt{\frac{2 A}{t}} \frac{1}{1+\exp \left\{\frac{1}{2 v} \sqrt{\frac{2 A}{t}}(x-\sqrt{2 A t})+\frac{1}{2} \ln \frac{2 \pi A}{v}\right\}} .
\]

Это согласуется с профилем ударной волны (4.23) при $c_{2}-c_{1}=$ $=\sqrt{2 A / t}$, причем с точностью до малых первого порядка разрыв расположен в точке $x=\sqrt{2 A t}$. В силу (4.36), пирина этой переходной области имеет порядок $O\left(R^{-1}\right)$.

Существует другая переходная область (с менее резким переходом), которая расположена вблизи точки $z=0$ и в которой сглаживается разрыв производной между $g \sim 0$ при $z<0$ и $g \sim z$ при $0<z<1$. Из (4.33) следует, что этой переходной области соответствуют значения
\[
z=O\left(R^{-1 / 2}\right),
\]

и в этом случае (4.33) можно приближенно представить в виде
\[
g \approx \frac{e^{-R z^{2}}}{2 \sqrt{R} \int_{z \sqrt{R}}^{\infty} e^{-\zeta^{2}} d \zeta} .
\]

В исходных переменных имеем
\[
c \approx \sqrt{\frac{\bar{v}}{t}} \frac{e^{\left.-x^{2 /(t} v t\right)}}{\int_{x / \sqrt{4 v t}}^{\infty} e^{-\zeta^{2}} d \zeta} .
\]

Вид этого решения для больших значений $R$ изображен на рис. 4.1, где построен график $g(z)=c \sqrt{t /(2 A)}$ в зависимости от $z$.

При $R \rightarrow \infty$ переходная область ударной волны переходит в линию разрыва для $c$, а переходная область около $x=0$ переходит в линию разрыва для $c_{x}$. В безразмерных переменных $g$ и $z$ этот профиль не зависит от $t$. Следовательно, если начальные условия
Рис. 4.1. Решение уравнения Бюргерса в виде треугольной волны.

обеспечивают достаточно большое значение $R$, то ударная волна остается достаточно слабой и разрывная теория (4.4) дает хорошее приближение для всех $t$. Это верно, несмотря на то, что интенсивность ударной волны пропорциональна $\sqrt{2 A / t}$ и стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$.

В данной связи следует подчеркнуть, что площадь области между профилем и осью абсцисс остается постоянной даже при учете диффузии, поскольку
\[
\frac{d}{d t} \int_{-\infty}^{\infty} c d x=\left[v c_{x}-\frac{1}{2} c^{2}\right]_{-\infty}^{\infty}=0 .
\]

Поэтому «эфективное» число Рейнольдса, определяемое как
\[
\frac{1}{2 v} \int_{-\infty}^{\infty} c d x
\]

остается постоянным для всех $t$. Следующий пример показывает, что более типична ситуация, когда в затухающей волне диффузия в конце концов преобладает, и что одиночный горб является в этом отношении исключением.