Волны от точечного источника распространяются изотропно, и различные значения модуля $k$ волнового вектора, возбужденные в начальный момент, распространяются с соответствующими групповыми скоростями $C(k)$. В момент времени $t$ каждое конкретное значение $k$ будет находиться на расстоянии $r=C(k) t$. Следовательно, $k(r, t)$ удовлетворяет соотношению
\[
C(k)=\frac{r}{t} .
\]

Поэтому для гравитационных волн на глубокой воде мы имеем
\[
k=\frac{g t^{2}}{4 r^{2}}, \quad \omega=\frac{g t}{2 r} .
\]

Это осесимметричный аналог одномерной задачи, рассмотренной в § 11.4. Указанная весьма простая формула для о сравнивалась Снодграссом и его сотрудниками [1] с данными наблюдения за волнением, вызываемым птормами в южной части Тихого океана. Оказалось, что на расстояниях порядка 2000 миль частота линейно зависит от $t$ и коэффициент пропорциональности позволяет с большой точностью определить расстояние до шторма.

То же явление в меньших масштабах – это характерные кольца, расходящиеся от брошенного в пруд камня или от другого всплеска. Для них удовлетворяется равенство (12.18), где групповая скорость $C(k)$ определяется формулой (12.14). Поскольку $C(k)$ имеет минимальное значение около $18 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$, существует круг спокойной воды радиуса $18 t$ см. Вне этого круга для каждого $r / t$ допускаются два значения $k$ : одно на гравитационной ветви, другое на капиллярной, так что возникают два накладывающихся волновых пакета. Конечно, энергия, соответствующая различным волновым числам, определяется исходным возмущением. Волны, длины которых имеют тот же порядок, что и размеры объекта, обладают наибольшими амплитудами и наиболее заметны. Для объекта с характерной длиной $l$ главные кольца будут иметь радиусы порядка $r=C(\pi / l) t$.