Решения Барбашова и Черникова [1] можно естественным образом получить при помощи преобразования годографа, хотя простота преобразованных уравнений неожиданна. Прежде всего введем новые переменные
и получим эквивалентную систему
Меняем роли зависимых и независимых переменных, что дает
или одно эквивалентное уравнение
Предполагая, что искомые решения находятся в гиперболической области, теперь естественно перейти к нахождению характеристик линейной системы (17.90), или, что то же самое, линейного уравнения (17.91). Они являются интегральными кривыми дифференциатьного уравнения
и, как оказывается, имеют вид const, const, где
Если вместо , ввести эти новые переменные , , то уравнения (17.90) примут следующий вид:
Удивительно, что, исключая переменную для того, чтобы перейти к уравнению, аналогичному (17.91), мы получаем просто
А ведь преобразование годографа гарантирует лишь линейность уравнения и могло бы оказаться бесполезным для практигеских целей.
Общее решение можно записать в виде
где — произвольные функции. Поскольку
и аналогично
соответствующее выражение для таково:
Наконец, целесообразно произвести замену
и записать решение следующим образом:
Если функции и локализованы, т. е. отличны от нуля, например, лишь в интервалах соответственно, то
Волна приходит из , а волна из . Когда , решение можно записать в виде
Каждая волна сместилась в направлении, противоположном направлению ее распространения, на величину
В этом отношении по своему конечному результату взаимодействие подобно остальным примерам взаимодействия уединенных волн. Но во всех остальных отношениях представляется, что решения уравнения Борна — Инфельда (а также само это уравнение), по-видимому, относятся к какому-то иному классу.
Еще одно замечание о решении, заданном формулами (17.98)(17.100). Отображение из -плоскости в -плоскость в продессе взаимодействия волн может приобрести особенность, хотя из (17.101) и следует, что после взаимодействия решение снова становится однозначным. Это можно интерпретировать как формирование ударной волны и связать с тем фактом, что в процессе взаимодействия характеристические скорости отклоняются от значений и могут появиться огибающие характеристик. В таких случаях потребуется модифицировать последующее поведение, и выражение (17.101) в том виде, в котором оно записано, станет неприменимым. Однако опрокидывание возможно лишь в случае достаточно больших амплитуд, и существует класс решений, для которых оно не происходит.
В этом конкретном примере для преобразованного уравнения (17.94) допустима линейная суперпозиция, что делает очевидным сохранение формы волны. Следует ожидать, что во всех случаях сохранение структуры можно проследить до линейной суперпозиции в некотором преобразованном пространстве. Но решающими являются характер отображения и соответствующие линейные решения. Решение, описывающее слияние ударных волн в § 4.7, соответствует суперпозиции решений линейного уравнения теплопроводности. Но, поскольку последние решения имеют экспоненциальную форму и не локализованы, ударные волны объединяются в новую ударную волну, а не проходят одна сквозь другую.