Решения Барбашова и Черникова [1] можно естественным образом получить при помощи преобразования годографа, хотя простота преобразованных уравнений неожиданна. Прежде всего введем новые переменные
\[
\xi=x-t, \quad \eta=x+t, \quad u=\varphi_{\xi}, \quad v=\varphi_{\eta}
\]
и получим эквивалентную систему
\[
\begin{aligned}
u_{\eta}-v_{\xi} & =0, \\
v^{2} u_{\xi}-(1+2 u v) u_{\eta}+u^{2} v_{\eta} & =0 .
\end{aligned}
\]
Меняем роли зависимых и независимых переменных, что дает
\[
\begin{array}{r}
\xi_{v}-\eta_{u}=0, \\
v^{2} \eta_{v}+(1+2 u v) \xi_{v}+u^{2} \xi_{u}=0,
\end{array}
\]
или одно эквивалентное уравнение
\[
u^{2} \xi_{u u}+(1+2 u v) \xi_{u v}+v^{2} \xi_{v v}+2 u \xi_{u}+2 v \xi_{v}=0 .
\]
Предполагая, что искомые решения находятся в гиперболической области, теперь естественно перейти к нахождению характеристик линейной системы (17.90), или, что то же самое, линейного уравнения (17.91). Они являются интегральными кривыми дифференциатьного уравнения
\[
u^{2} d v^{2}-(1+2 u v) d u d v+v^{2} d u^{2}=0
\]
и, как оказывается, имеют вид $r=$ const, $s=$ const, где
\[
r=\frac{\sqrt{1+4 u v}-1}{2 v}, \quad s=\frac{\sqrt{1+4 u v}-1}{2 u} .
\]
Если вместо $u$, $l$ ввести эти новые переменные $r$, $s$, то уравнения (17.90) примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
r^{2} \xi_{r}+\eta_{r}=0, \\
\xi_{s}+s^{2} \eta_{s}=0 .
\end{array}
\]
Удивительно, что, исключая переменную $\eta$ для того, чтобы перейти к уравнению, аналогичному (17.91), мы получаем просто
\[
\xi_{r s}=0 \text {. }
\]
А ведь преобразование годографа гарантирует лишь линейность уравнения и могло бы оказаться бесполезным для практигеских целей.
Общее решение можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
x-t=\xi=F(r)-\int s^{2} G^{\prime}(s) d s, \\
x+t=\eta=G(s)-\int r^{2} F^{\prime}(r) d r,
\end{array}
\]
где $F(r), G(s)$ – произвольные функции. Поскольку
\[
\varphi_{r}=u \xi_{r}+v \eta_{r}=\frac{r}{1-r s} \xi_{r}+\frac{s}{1-r s} \eta_{r}=r F^{\prime}(r)
\]
и аналогично
\[
\varphi_{s}=s G^{\prime}(s),
\]
соответствующее выражение для $\varphi$ таково:
\[
\varphi=\int r F^{\prime}(r) d r+\int s G^{\prime}(s) d s .
\]
Наконец, целесообразно произвести замену
\[
F(r)=\rho, \quad G(s)=\sigma, \quad r=\Phi_{1}^{\prime}(\rho), \quad s=\Phi_{2}^{\prime}(\sigma)
\]
и записать решение следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\varphi & =\Phi_{1}(\rho)+\Phi_{2}(\sigma), \\
x-t & =\rho-\int_{-\infty}^{\sigma} \Phi_{2}^{\prime 2}(\sigma) d \sigma, \\
x+t & =\sigma+\int_{\rho}^{\infty} \Phi_{1}^{\prime 2}(\rho) d \rho .
\end{aligned}
\]
Если функции $\Phi_{1}(\rho)$ и $\Phi_{2}(\sigma)$ локализованы, т. е. отличны от нуля, например, лишь в интервалах $-1<\rho<0,0<\sigma<1$ соответственно, то
\[
\varphi=\Phi_{1}(x-t)+\Phi_{2}(x+t) \quad \text { при } t<0 .
\]
Волна $\Phi_{1}$ приходит из $x=-\infty$, а волна $\Phi_{2}-$ из $x=+\infty$. Когда $t \rightarrow+\infty$, решение можно записать в виде
\[
\varphi=\Phi_{1}\left\{x-t+\int_{-\infty}^{\infty} \Phi_{2}^{\prime 2}(\sigma) d \sigma\right\}+\Phi_{2}\left\{x+t-\int_{-\infty}^{\infty} \Phi_{1}^{\prime 2}(\rho) d \rho\right\} .
\]
Каждая волна сместилась в направлении, противоположном направлению ее распространения, на величину
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \Phi_{i}^{\prime 2}(\tau) d \tau .
\]
В этом отношении по своему конечному результату взаимодействие подобно остальным примерам взаимодействия уединенных волн. Но во всех остальных отношениях представляется, что решения уравнения Борна – Инфельда (а также само это уравнение), по-видимому, относятся к какому-то иному классу.
Еще одно замечание о решении, заданном формулами (17.98)(17.100). Отображение из $(x, t)$-плоскости в $(\rho, \sigma)$-плоскость в продессе взаимодействия волн может приобрести особенность, хотя из (17.101) и следует, что после взаимодействия решение снова становится однозначным. Это можно интерпретировать как формирование ударной волны и связать с тем фактом, что в процессе взаимодействия характеристические скорости отклоняются от значений $\pm 1$ и могут появиться огибающие характеристик. В таких случаях потребуется модифицировать последующее поведение, и выражение (17.101) в том виде, в котором оно записано, станет неприменимым. Однако опрокидывание возможно лишь в случае достаточно больших амплитуд, и существует класс решений, для которых оно не происходит.
В этом конкретном примере для преобразованного уравнения (17.94) допустима линейная суперпозиция, что делает очевидным сохранение формы волны. Следует ожидать, что во всех случаях сохранение структуры можно проследить до линейной суперпозиции в некотором преобразованном пространстве. Но решающими являются характер отображения и соответствующие линейные решения. Решение, описывающее слияние ударных волн в § 4.7, соответствует суперпозиции решений линейного уравнения теплопроводности. Но, поскольку последние решения имеют экспоненциальную форму и не локализованы, ударные волны объединяются в новую ударную волну, а не проходят одна сквозь другую.
