В случае произвольной зависимости $q$ от $\rho$ можно вывести аналитические формулы, определяющие разрыв и аналогичные равенствам $(2.45)-(2.47)$. Усложнение связано с нелинейностью зависимости $c$ от $\rho$, в силу чего построение, приведенное на рис. 2.8 , справедливо для $\rho$, но не для $c$. Следовательно, приходится работать с $\rho$. Но если в этом случае построить $(\rho, x)$-кривые, такие же, как на рис. 2.9 , то линии разрыва не перейдут в прямолинейные хорды, поскольку сдвиг будет пропорционален $c$, а не $\rho$. Поэтому отображение на начальный профиль не дает каких-либо преимуществ.
Однако можно поступить следующим образом. Введем функцию $\xi(\rho)$, обратную функции
\[
\rho=f(\xi),
\]
а также функцию $X(\rho, t)$, обратную многозначному репению $\rho=\rho(x, t)$. Иначе говоря, мы фиксируем некоторое конкретное значение $\rho$ и отметим его координату $X(\rho, t)$ в данный момент и его координату $\xi(\rho)$ в начальный момент. Из уравнения харак-
теристик имеем
\[
X(\rho, t)=c(\rho) t+\xi(\rho) .
\]
Рассмотрим разрыв в точке $s(t)$ и обозначим через $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ значения $\rho$ перед разрывом и за ним соответственно. Построение равных площадей на рис. 2.8 можно записать соотношением
\[
\int_{\rho_{2}}^{\rho_{1}} X(\rho, t) d \rho=\left(\rho_{1}-\rho_{2}\right) s(t) .
\]
(Это верно в любом из случаев $c^{\prime}(\rho)$ ₹ 0 . Мы всегда обозначаем через $\rho_{1}$ значение перед разрывом, а через $\rho_{2}$ – значение за разрывом. Если $c^{\prime}(\rho)>0$, то $\rho_{2}>\rho_{1}$; если $c^{\prime}(\rho)<0$, то $\rho_{2}<\rho_{1}$.) Отсюда, в силу (2.57),
\[
\int_{\rho_{2}}^{\rho_{1}}\{c(\rho) t+\xi(\rho)\} d \rho=\left(\rho_{1}-\rho_{2}\right) s(t) .
\]
Поскольку $c(\rho)=Q^{\prime}(\rho)$, это равенство принимает вид
\[
\left(q_{1}-q_{2}\right) t-\left(\rho_{1}-\rho_{2}\right) s(t)=-\int_{\rho_{2}}^{\rho_{1}} \xi(\rho) d \rho .
\]
Интегрируя выражение справа по частям, получаем
\[
-\rho_{1} \xi_{1}+\rho_{2} \xi_{2}+\int_{\xi_{2}}^{\xi_{1}} \rho(\xi) d \xi .
\]
Попожение разрыва $s(t)$ определяется уравнениями
\[
\begin{array}{l}
s(t)=\xi_{1}+c_{1} t, \\
s(t)=\xi_{2}+c_{2} t
\end{array}
\]
можно разрешить их относительно $s(t)$ и $t$ и подставить полученные результаты в равенство (2.58). Окончательно (2.58) примет вид
\[
\left\{\left(q_{2}-q_{1}\right)-\left(\rho_{2} c_{2}-\rho_{1} c_{1}\right)\right\} \frac{\xi_{1}-\xi_{2}}{c_{1}-c_{2}}=\int_{\xi_{2}}^{\xi_{1}} \rho d \xi,
\]
где $\rho, q$ и $c$ вычисляются как функции от $\xi$ по формулам
\[
\rho=f(\xi), q=Q(f(\xi)), c=Q^{\prime}(f(\xi)),
\]
а индексы обозначают значения соответствующих величин при $\xi=\xi_{1}$ и $\xi=\xi_{2}$. (Это несколько проще, чем использовать $f(\xi)$ вместо $\rho, F$ ( $\xi$ вместо $c$ и ввести новый символ для $q$ как функции от $\xi$.) Уравнения (2.59) и (2.60) дают три соотношения, определяющие $s(t), \xi_{1}(t)$ и $\xi_{2}(t)$. Непосредственным диффе-
ренцированием снова можно проверить, что выполняется условие на разрыве
\[
\dot{s}=\frac{q_{2}-q_{1}}{\rho_{2}-\rho_{1}} .
\]
Если $q$ – квадратичная функция от $\rho$, то легко проверить, что уравнение (2.60) сводится к уравнению (2.45). Случаи, подобные одиночному горбу и $N$-волне, исследуются так же, как и ранее, причем получаются качественно аналогичные результаты. Асимптотические формулы (2.51), (2.52) и (2.53) остаются справедливыми, но принимается
\[
A=c^{\prime}\left(\rho_{0}\right) \int_{0}^{L}\left(\rho-\rho_{0}\right) d \xi
\]
и аналогичное выражение для $B$. Формулы для $\rho$ можно вывести из соответствующих равенств для $c$, поскольку в асимптотическом пределе возмущение мало и $\rho-\rho_{0}=\left(c-c_{0}\right) / c^{\prime}\left(\rho_{0}\right)$ с точностью до членов первого порядка.
