В случае произвольной зависимости $q$ от $\rho$ можно вывести аналитические формулы, определяющие разрыв и аналогичные равенствам $(2.45)-(2.47)$. Усложнение связано с нелинейностью зависимости $c$ от $\rho$, в силу чего построение, приведенное на рис. 2.8 , справедливо для $\rho$, но не для $c$. Следовательно, приходится работать с $\rho$. Но если в этом случае построить $(\rho ,x)$-кривые, такие же, как на рис. 2.9 , то линии разрыва не перейдут в прямолинейные хорды, поскольку сдвиг будет пропорционален $c$, а не $\rho$. Поэтому отображение на начальный профиль не дает каких-либо преимуществ.

Однако можно поступить следующим образом. Введем функцию $\xi (\rho )$, обратную функции
$$\rho =f(\xi ),$$

а также функцию $X(\rho ,t)$, обратную многозначному репению $\rho =\rho (x,t)$. Иначе говоря, мы фиксируем некоторое конкретное значение $\rho$ и отметим его координату $X(\rho ,t)$ в данный момент и его координату $\xi (\rho )$ в начальный момент. Из уравнения харак-

теристик имеем
$$X(\rho ,t)=c(\rho )t+\xi (\rho ).$$

Рассмотрим разрыв в точке $s(t)$ и обозначим через ${\rho }_1$ и ${\rho }_2$ значения $\rho$ перед разрывом и за ним соответственно. Построение равных площадей на рис. 2.8 можно записать соотношением
$${\int }_{{\rho }_2}^{{\rho }_1}X(\rho ,t)d\rho =({\rho }_1-{\rho }_2)s(t).$$
(Это верно в любом из случаев $c^{\prime }(\rho )$ ₹ 0 . Мы всегда обозначаем через ${\rho }_1$ значение перед разрывом, а через ${\rho }_2$ — значение за разрывом. Если $c^{\prime }(\rho )>0$, то ${\rho }_2>{\rho }_1$; если $c^{\prime }(\rho )<0$, то ${\rho }_2<{\rho }_1$.) Отсюда, в силу (2.57),
$${\int }_{{\rho }_2}^{{\rho }_1}\{c(\rho )t+\xi (\rho )\}d\rho =({\rho }_1-{\rho }_2)s(t).$$

Поскольку $c(\rho )=Q^{\prime }(\rho )$, это равенство принимает вид
$$(q_1-q_2)t-({\rho }_1-{\rho }_2)s(t)=-{\int }_{{\rho }_2}^{{\rho }_1}\xi (\rho )d\rho .$$

Интегрируя выражение справа по частям, получаем
$$-{\rho }_1{\xi }_1+{\rho }_2{\xi }_2+{\int }_{{\xi }_2}^{{\xi }_1}\rho (\xi )d\xi .$$

Попожение разрыва $s(t)$ определяется уравнениями
$$\begin{array}{l}s(t)={\xi }_1+c_{1}t,\\ s(t)={\xi }_2+c_{2}t\end{array}$$

можно разрешить их относительно $s(t)$ и $t$ и подставить полученные результаты в равенство (2.58). Окончательно (2.58) примет вид
$$\{(q_2-q_1)-({\rho }_2{c}_2-{\rho }_1{c}_1)\}\frac{{\xi }_1-{\xi }_2}{c_1-c_2}={\int }_{{\xi }_2}^{{\xi }_1}\rho d\xi ,$$

где $\rho ,q$ и $c$ вычисляются как функции от $\xi$ по формулам
$$\rho =f(\xi ),q=Q(f(\xi )),c=Q^{\prime }(f(\xi )),$$

а индексы обозначают значения соответствующих величин при $\xi ={\xi }_1$ и $\xi ={\xi }_2$. (Это несколько проще, чем использовать $f(\xi )$ вместо $\rho ,F$ ( $\xi$ вместо $c$ и ввести новый символ для $q$ как функции от $\xi$.) Уравнения (2.59) и (2.60) дают три соотношения, определяющие $s(t),{\xi }_1(t)$ и ${\xi }_2(t)$. Непосредственным диффе-

ренцированием снова можно проверить, что выполняется условие на разрыве
$$\dot{s}=\frac{q_2-q_1}{{\rho }_2-{\rho }_1}.$$

Если $q$ — квадратичная функция от $\rho$, то легко проверить, что уравнение (2.60) сводится к уравнению (2.45). Случаи, подобные одиночному горбу и $N$-волне, исследуются так же, как и ранее, причем получаются качественно аналогичные результаты. Асимптотические формулы (2.51), (2.52) и (2.53) остаются справедливыми, но принимается
$$A=c^{\prime }\left({\rho }_0\right){\int }_0^L(\rho -{\rho }_0)d\xi$$

и аналогичное выражение для $B$. Формулы для $\rho$ можно вывести из соответствующих равенств для $c$, поскольку в асимптотическом пределе возмущение мало и $\rho -{\rho }_0=(c-c_0)/c^{\prime }\left({\rho }_0\right)$ с точностью до членов первого порядка.