Для понимания структуры гиперболических задач, в частности таких вопросов, как правильное число граничных условий и вид области зависимости, полезно представлять себе процедуру построения решения при помощи последовательных малых приращений времени. Для простоты будем предполагать, что характеристические уравнения можно представить в виде (5.14), но качественно явления будут такими же и в общем случае.

Рассмотрим задачу с начальными и краевыми условиями в области $x>0, t>0$ с данными на лучах $x=0$ и $t=0$. Если $P-$ произвольная точка $(x, t)$-плоскости и если $Q_{k}$ — близлежащая точка, расположенная на $k$-й характеристике, проходящей через точку $P$, то уравнения (5.14) с точностью до членов первого порядка

можно записать в виде
\[
\begin{array}{c}
r_{k}(P)-r_{k}\left(Q_{k}\right)+f_{k}\left(Q_{k}\right) \cdot\left\{t(P)-t\left(Q_{k}\right)\right\}=0, \\
x(P)-x\left(Q_{k}\right)=c_{k}\left(Q_{k}\right)\left\{t(P)-t\left(Q_{k}\right)\right\}
\end{array}
\]

с очевидными обозначениями величин в точках $P$ и $Q_{k}$. Если эти уравнения записать для всех $n$ характеристик и если значения всех величин в точках $Q_{k}$ известны, то равенства (5.15) дают $n$ уравнений для величин $r_{k}$ в точке $P$. Если некоторые из $c_{k}$ одинаковы, то некоторые из $Q_{k}$ будут совпадать, но это не имеет значения при условии, что $n$ уравнений (5.15) образуют полную систему.
Рис. 5.1. Построение решений с помощью характеристик.
Проведем теперь такое построение многократно, как показано на рис. 5.1. На этом рисунке нанесены три характеристики, причем $c_{1}>c_{2}>0>c_{3}$. Возьмем сначала точку $P$ после первого шага по времени; $t(P)=\Delta t$. Эта точка берется с достаточно большим значением $x(P)$, чтобы характеристики $P Q_{1}, P Q_{2}, P Q_{3}$ пересекали положительную полуось $x$, как показано на рисунке. В этом случае $t\left(Q_{k}\right)=0$. Если все $r_{k}$ первоначально известны как функции от $x$ при $t=0$, то каждая $c_{k}$ известна как функция от $x$, так что для выбранного значения $x(P)$ уравнения (5.16) определяют $x\left(Q_{k}\right)$ для каждого $k$. Тогда $r_{k}\left(Q_{k}\right)$ и $f_{k}\left(Q_{k}\right)$ вычисляются по первоначальным значениям $r_{k}$ и уравнения (5.15) определяют $r_{k}(P)$. Это верно для всех точек $P$, лежащих на прямой $t=\Delta t$, при условии, что они находятся справа от точки $W$, определяемой отрезком $O W$ характеристики, соответствующей наибольшей скорости $c_{1}$ и проходящей через начало координат.

Эти вычисления можно повторить, давая времени последовательные приращения. Например, в точке $P^{\prime}$ значения $r_{k}$ находятся при помощи величин $Q_{1}^{\prime}, Q_{2}^{\prime}, Q_{3}^{\prime}$, которые были определены на предыдущем шаге. Так в принципе можно построить решение в треугольной области, расположенной справа от характеристики $O W$, если заданы значения всех $r_{k}$ на луче $t=0, x>0$. Ясно также, что значения в точке $P^{\prime}$ будут зависеть только от данных на ограниченном точками $P_{1}^{\prime}$ и $P_{3}^{\prime}$ отрезке оси $x$, где $P^{\prime} P_{1}^{\prime}$ и $P^{\prime} P_{3}^{\prime}$ — характеристики, отвечающие самой большой и самой малой скорости соответственно. Отрезок $P_{1}^{\prime} P_{3}^{\prime}$ представляет собой область зависимости для $P^{\prime}$. Наличие области зависимости указывает на волновой характер решения. Сигналы распространяются со скоростями $c_{1}, c_{2}, c_{3}$, и только волны, исходящие из точек, расположенных между $P_{1}^{\prime}$ и $P_{3}^{\prime}$, успевают достичь точки $P^{\prime}$.

Для задачи с полными начальными значениями, когда $r_{k}$ при $t=0$ заданы на всей оси $x,-\infty<x<\infty$, описанное построение можно использовать для доказательства теорем существования и единственности. Для установления корректности постановки задачи нужно еще проверить, что решение устойчиво (вопрос, которого мы здесь не касаемся).

Но вернемся к смешанной задаче с данными при $t=0$, известными только для $x>0$, и остальной информацией в виде данных на полуоси $x=0, t>0$. Рассмотрим точку $p$ на прямой $t=\Delta t$, расположенную слева от точки $W$, так что две положительные характеристики пересекают ось $t$ в точках $q_{1}$ и $q_{2}$. Значение $r_{3}(p)$ все еще определяется данными в точке $q_{3}$, расположенной на оси $x$. Действительно, точку $p$ можно взять на самой оси $t$, а $r_{3}$ все еще будет определяться данными на оси $x$. Таким образом, величину $r_{3}$ нельзя произвольно задавать при $x=0$. Для определения $r_{1}(p)$ и $r_{2}(p)$ потребуются значения $r_{1}, r_{2}$ и $r_{3}$ в точках $q_{1}$ и $q_{2}$. Значение $r_{3}$ при $x=0$ вычисляется, а не задается, но, очевидно, $r_{1}$ и $r_{2}$ должны быть заданы. Для последующих шагов по времени все повторяется. Например, в точке $p^{\prime}$ значение $r_{3}$ определяется данными в точке $q_{3}^{\prime}$; значения $r_{1}$ и $r_{2}$ определяются по данным в точках $q_{1}^{\prime}$ и $q_{2}^{\prime}$, так что значения $r_{1}$ и $r_{2}$ должны быть заданы в этих точках. Таким образом, для корректно поставленной задачи
\[
\begin{array}{r}
r_{1}, r_{2}, r_{3} \text { заданы при } t=0, x>0, \\
r_{1}, r_{2} \text { заданы при } x=0, t>0 .
\end{array}
\]

Данные на оси $x=0$ влияют на решение только в области левее «волнового фронта» $O W W^{\prime}$. Конечно, можно задавать и другие эквивалентные данные, и в общем случае любые три условия при $t=0$ и любые два условия при $x=0$ будут корректными. Единственное ограничение состоит в том, что два условия, заданные на оси $x=0$, не должны определять $r_{3}$, поскольку $r_{3}$ определяется начальными условиями.

Полученные здесь результаты можно обобщить на $n$ уравнений и другие граничные условия. Из построения решения ясно, что число граничных условий должно быть равно числу характеристик, направленных в расслатриваемую область. Чтобы сделать термин «направленных» осмысленным, следует для каждой характеристики определить положительное направление. Когда $t$ — время, это направление обычно выбирается в сторону возрастания $t$. Для определения положительного направления можно использовать другую координату, т. е. $x$, или даже функцию от $(x, t)$, но в каждом случае правильность выбора граничных условий нуждается в проверке, аналогичной проведенной выше.

Доказательства существования и единственности могут основываться на итерациях интегральных соотношений, выражающих значение в точке в виде интегралов по соответствующему характеристическому треугольнику (например, $P^{\prime} P_{1}^{\prime} P_{3}^{\prime}$ дэя $P^{\prime}$ на рисунке 5.1). В целом построение аналогично итерациям Пикара для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь можно сослаться на Куранта и Гитьберта ([1], стр. 458).

В нелинейных задачах характеристические скорости $c_{k_{2}}$ являются функциями от $\mathbf{u}$, так что число условий, заданных на какой-либо границе, также может являться функцией от и.