Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Для понимания структуры гиперболических задач, в частности таких вопросов, как правильное число граничных условий и вид области зависимости, полезно представлять себе процедуру построения решения при помощи последовательных малых приращений времени. Для простоты будем предполагать, что характеристические уравнения можно представить в виде (5.14), но качественно явления будут такими же и в общем случае. Рассмотрим задачу с начальными и краевыми условиями в области $x>0, t>0$ с данными на лучах $x=0$ и $t=0$. Если $P-$ произвольная точка $(x, t)$-плоскости и если $Q_{k}$ – близлежащая точка, расположенная на $k$-й характеристике, проходящей через точку $P$, то уравнения (5.14) с точностью до членов первого порядка можно записать в виде с очевидными обозначениями величин в точках $P$ и $Q_{k}$. Если эти уравнения записать для всех $n$ характеристик и если значения всех величин в точках $Q_{k}$ известны, то равенства (5.15) дают $n$ уравнений для величин $r_{k}$ в точке $P$. Если некоторые из $c_{k}$ одинаковы, то некоторые из $Q_{k}$ будут совпадать, но это не имеет значения при условии, что $n$ уравнений (5.15) образуют полную систему. Эти вычисления можно повторить, давая времени последовательные приращения. Например, в точке $P^{\prime}$ значения $r_{k}$ находятся при помощи величин $Q_{1}^{\prime}, Q_{2}^{\prime}, Q_{3}^{\prime}$, которые были определены на предыдущем шаге. Так в принципе можно построить решение в треугольной области, расположенной справа от характеристики $O W$, если заданы значения всех $r_{k}$ на луче $t=0, x>0$. Ясно также, что значения в точке $P^{\prime}$ будут зависеть только от данных на ограниченном точками $P_{1}^{\prime}$ и $P_{3}^{\prime}$ отрезке оси $x$, где $P^{\prime} P_{1}^{\prime}$ и $P^{\prime} P_{3}^{\prime}$ – характеристики, отвечающие самой большой и самой малой скорости соответственно. Отрезок $P_{1}^{\prime} P_{3}^{\prime}$ представляет собой область зависимости для $P^{\prime}$. Наличие области зависимости указывает на волновой характер решения. Сигналы распространяются со скоростями $c_{1}, c_{2}, c_{3}$, и только волны, исходящие из точек, расположенных между $P_{1}^{\prime}$ и $P_{3}^{\prime}$, успевают достичь точки $P^{\prime}$. Для задачи с полными начальными значениями, когда $r_{k}$ при $t=0$ заданы на всей оси $x,-\infty<x<\infty$, описанное построение можно использовать для доказательства теорем существования и единственности. Для установления корректности постановки задачи нужно еще проверить, что решение устойчиво (вопрос, которого мы здесь не касаемся). Но вернемся к смешанной задаче с данными при $t=0$, известными только для $x>0$, и остальной информацией в виде данных на полуоси $x=0, t>0$. Рассмотрим точку $p$ на прямой $t=\Delta t$, расположенную слева от точки $W$, так что две положительные характеристики пересекают ось $t$ в точках $q_{1}$ и $q_{2}$. Значение $r_{3}(p)$ все еще определяется данными в точке $q_{3}$, расположенной на оси $x$. Действительно, точку $p$ можно взять на самой оси $t$, а $r_{3}$ все еще будет определяться данными на оси $x$. Таким образом, величину $r_{3}$ нельзя произвольно задавать при $x=0$. Для определения $r_{1}(p)$ и $r_{2}(p)$ потребуются значения $r_{1}, r_{2}$ и $r_{3}$ в точках $q_{1}$ и $q_{2}$. Значение $r_{3}$ при $x=0$ вычисляется, а не задается, но, очевидно, $r_{1}$ и $r_{2}$ должны быть заданы. Для последующих шагов по времени все повторяется. Например, в точке $p^{\prime}$ значение $r_{3}$ определяется данными в точке $q_{3}^{\prime}$; значения $r_{1}$ и $r_{2}$ определяются по данным в точках $q_{1}^{\prime}$ и $q_{2}^{\prime}$, так что значения $r_{1}$ и $r_{2}$ должны быть заданы в этих точках. Таким образом, для корректно поставленной задачи Данные на оси $x=0$ влияют на решение только в области левее «волнового фронта» $O W W^{\prime}$. Конечно, можно задавать и другие эквивалентные данные, и в общем случае любые три условия при $t=0$ и любые два условия при $x=0$ будут корректными. Единственное ограничение состоит в том, что два условия, заданные на оси $x=0$, не должны определять $r_{3}$, поскольку $r_{3}$ определяется начальными условиями. Полученные здесь результаты можно обобщить на $n$ уравнений и другие граничные условия. Из построения решения ясно, что число граничных условий должно быть равно числу характеристик, направленных в расслатриваемую область. Чтобы сделать термин «направленных» осмысленным, следует для каждой характеристики определить положительное направление. Когда $t$ – время, это направление обычно выбирается в сторону возрастания $t$. Для определения положительного направления можно использовать другую координату, т. е. $x$, или даже функцию от $(x, t)$, но в каждом случае правильность выбора граничных условий нуждается в проверке, аналогичной проведенной выше. Доказательства существования и единственности могут основываться на итерациях интегральных соотношений, выражающих значение в точке в виде интегралов по соответствующему характеристическому треугольнику (например, $P^{\prime} P_{1}^{\prime} P_{3}^{\prime}$ дэя $P^{\prime}$ на рисунке 5.1). В целом построение аналогично итерациям Пикара для обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь можно сослаться на Куранта и Гитьберта ([1], стр. 458). В нелинейных задачах характеристические скорости $c_{k_{2}}$ являются функциями от $\mathbf{u}$, так что число условий, заданных на какой-либо границе, также может являться функцией от и.
|
1 |
Оглавление
|