Преобразования Беклунда первоначально были введены как обобщение контактных преобразований и связаны, в частности, с изучением геометрии поверхностей. Как было указано выше (§ 14.1), уравнение Sin-Гордона получается при описании поверхностей с гауссовой кривизной, равной -1. Преобразования Беклунда и их применения описаны в книге Форсайта [1, т. VI, гл. 21]. При приложении этих преобразований к уравнению Sin-Гордона последнее удобно записать в канонической форме
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial \xi \partial \eta}=\sin \varphi ; \quad \xi=\frac{x-t}{2}, \quad \eta=\frac{x+t}{2} .
\]

В общем случае преобразование Беклунда для уравнения второго порядка для $\varphi(\xi, \eta)$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{\xi}^{\prime}=P\left(\varphi^{\prime}, \varphi, \varphi_{\xi}, \varphi_{\eta}, \xi, \eta\right), \\
\varphi_{\eta}^{\prime}=Q\left(\varphi^{\prime}, \varphi, \varphi_{\xi}, \varphi_{\eta}, \xi, \eta\right) .
\end{array}
\]

Условие совместности этих двух выражений приводит к новому дифференциальному уравнению для $\varphi^{\prime}(\xi, \eta)$. Идея, по-видимому, состоит в описании класса эквивалентных уравнений. Например, сведение уравнепия Бюргерса
\[
\varphi_{\eta}+\varphi \varphi_{\xi}-v \varphi_{\xi \xi}=0
\]

к уравнению теплопроводности
\[
\varphi_{\eta}^{\prime}-v \varphi_{\xi \xi}^{\prime}=0
\]

можно записать как преобразование Беклунда
\[
\varphi_{\xi}^{\prime}=-\frac{\varphi \varphi^{\prime}}{2 v}, \quad \varphi_{\eta}^{\prime}=-\left(2 v \varphi_{\xi}-\varphi^{2}\right) \frac{\varphi^{\prime}}{4 v} .
\]

Одпако в общем случае надежда свести исходное уравнение к линейному, по-видимому, не оправдывается. Но другой путь найти уравнения, которые можно отобразить в себя, так что любое известное решение для $\varphi$ (даже тривиальное) дает новое решение $\varphi^{\prime}$. Задача определения преобразований, переводящих уравнение (17.75) в себя, ставится Форсайтом со ссылкой на Бианки и Дарбу. Јегко показать, что соответствующее преобразование Беклунда имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial \xi}=\frac{\partial \varphi}{\partial \xi}+2 \lambda \sin \frac{\varphi^{\prime}+\varphi}{2}, \\
\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial \eta}=-\frac{\partial \varphi}{\partial \eta}+\frac{2}{\lambda} \sin \frac{\varphi^{\prime}-\varphi}{2},
\end{array}
\]

где $\lambda$ – произвольный параметр. Заметим, что они соответственно дают
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial \eta} \varphi_{\xi}^{\prime} & =\varphi_{\xi \eta}+\lambda\left(\varphi_{\eta}^{\prime}+\varphi_{\eta}\right) \cos \frac{\varphi^{\prime}+\varphi}{2}= \\
& =\varphi_{\xi \eta}+2 \sin \frac{\varphi^{\prime}-\varphi}{2} \cos \frac{\varphi^{\prime}+\varphi}{2}, \\
\frac{\partial}{\partial \xi} \varphi_{\eta}^{\prime} & =-\varphi_{\eta \xi}+\frac{1}{\lambda}\left(\varphi_{\xi}^{\prime}-\varphi_{\xi}\right) \cos \frac{\varphi^{\prime}-\varphi}{2}= \\
& =-\varphi_{\eta \xi}+2 \sin \frac{\varphi^{\prime}+\varphi}{2} \cos \frac{\varphi^{\prime}-\varphi}{2} .
\end{aligned}
\]

Эти два выражения для $\varphi_{\xi}^{\prime}$ должны быть равны, и, следовательно, условием совместности является равенство
\[
\varphi_{\xi \eta}=\sin \varphi .
\]

Складывая эти выражения, находим, что
\[
\varphi_{\xi \eta}^{\prime}=\sin \varphi^{\prime} \text {. }
\]

Метод Дж. Ләмба состоит в последовательном генерировании новых решений при помощи соотношений (17.76).

Прежде всего, поскольку $\varphi_{0}=0$ является решением, другое решение $\varphi_{1}$ можно найти из соотношений
\[
\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial \eta}=2 \lambda \sin \frac{\varphi_{1}}{2}, \quad \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial \xi}=\frac{2}{\lambda} \sin \frac{\varphi_{1}}{2} .
\]

Легко проверить, что это соответствует уединенной волне
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{tg} \frac{\varphi_{1}}{4}=C \exp \left(\lambda \eta+\frac{\xi}{\lambda}\right)=C \exp \left(\frac{x-U t}{\sqrt{1-U^{2}}}\right), \\
\lambda=\sqrt{\frac{1-U}{1+U}} .
\end{array}
\]

Далее, если в (17.76) функцию $\varphi$ положить равной $\varphi_{1}$, то окажется, что решение $\varphi^{\prime}=\varphi_{2}$ совпадает с результатом Перринга Скирма для двух взаимодействующих уединенных волн. В общем случае решение $\varphi_{n-1}$ для $n-1$ уединенных волн генерирует решение $\varphi_{n}$ для $n$ уединенных волн. В терминах $\psi=\operatorname{tg}(\varphi / 4)$, $\psi^{\prime}=\operatorname{tg}\left(\varphi^{\prime} / 4\right)$ преобразование (17.76) записывается так:
\[
\begin{array}{l}
\psi_{\xi}^{\prime}=\left(1+\psi^{2}\right)^{-1}\left\{\left(1+\psi^{\prime 2}\right) \psi_{\xi}+\lambda\left(1-\psi^{2}\right) \psi^{\prime}+\lambda \psi\left(1-\psi^{\prime 2}\right)\right\}, \\
\psi_{\eta}^{\prime}=\left(1+\psi^{2}\right)^{-1}\left\{-\left(1+\psi^{\prime 2}\right) \psi_{\eta}+\frac{1}{\lambda}\left(1-\psi^{2}\right) \psi^{\prime}-\frac{1}{\lambda} \psi\left(1-\psi^{\prime 2}\right)\right\} .
\end{array}
\]

Каждое из этих уравнений дает уравнение Риккати для $\psi^{\prime}$; кроме того, $\psi^{\prime 2}$ можно исключить и получить для $\psi^{\prime}$ линейное уравнение в частных производных первого порядка. Решение последнего уравнения в принципе можно найти всегда, но выражения для $\varphi_{n}$ становятся все более и более сложными.