Дисперсионное соотношение (13.25) имеет две моды $\omega= \pm W(x)$, где
\[
W(x)=\sqrt{g x \operatorname{th} x h_{0}} .
\]

Точка $x=0$ не является точкой ветвления, поскольку $g x$ th $x h_{0} \sim$ $\sim g h_{0} x^{2}$ при $x h_{0} \rightarrow 0$. Функция $W$, выбранная таким образом, что

$W \sim x \sqrt{g h_{0}}$ вблизи нуля, однозначна и аналитична на вещественной оси $x$. Она имеет төчки ветвления в других нулях и полюсах th $x h_{0}$, т. е. $x h_{0}= \pm n \pi i, \pm(n-1 / 2) \pi i, n=1,2,3, \ldots$ Функция $W(\boldsymbol{x})$ является однозначной аналитической функцией переменной $x$ в комплексной $x$-плоскости с разрезами от $-\infty i$ до $-\pi i /\left(2 h_{0}\right)$ и от $\pi i /\left(2 h_{0}\right)$ до $\infty i$.

Общее решение получается преобразованием Фурье и суперпозицией элементарных решений (13.24) для двух мод $\omega= \pm W(x)$. Для нахождения произвольных функций $F(x)$, входящих в решение, необходимы два начальных условия. Конечно, функция $\varphi$ в начальных условиях должна удовлетворять уравнению Лапласа, иначе в игру вступят эффекты сжимаемости и быстро преобразуют исходное распределение в некоторое новое эффективное исходное распределение. Для простоты рассмотрим жидкость, первоначально находившуюся в состоянии покоя с $\varphi=0$. Тогда, согласно (13.21), в начальный момент $\eta_{t}=0$. К этому мы добавим заданную исходную поверхность
\[
\eta(\mathbf{x}, 0)=\eta_{0}(\mathbf{x}), \quad t=0 .
\]

Решение этой задачи имеет вид
\[
\eta(\mathbf{x}, t)=\int_{-\infty}^{\infty} F(x) e^{i x \cdot x-i W t} d x+\int_{-\infty}^{\infty} F(x) e^{i \gamma \cdot x+i W t} d x,
\]

где $F(x)$ – преобразование Фурье функции $1 / 2 \eta_{0}(\mathbf{x})$.
Для одномерной задачи переменные $x$ и х в (13.28) являются скалярами и
\[
F(x)=\frac{1}{4 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \eta_{0}(x) e^{-i \kappa x} d x .
\]

Общее решение можно восстановить по частному случаю $\eta_{0}(x)=$ $=\delta(x), F(x)=1 /(4 \pi)$, известному в теории волн на воде как задача Коши – Пуассона. Ее решение можно представить в виде
\[
\eta(x, t)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \cos x x \cos _{4}(W(x) t) d x,
\]

как уже было указано в (11.19).
При наличии осевой симметрии относительно вертикали двумерное выражение (13.28) сводится к следующему:
\[
\eta(r, t)=2 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 \pi} x F(x) e^{i x r \cos \xi} \cos (W(x) t) d x d \xi,
\]

где $r=|\mathbf{x}|, x=|x|$ и $\xi$ – угол между $\mathbf{x}$ и $x$. Учитывая интесральное представление для функции Бесселя $J_{0}$

это решение можно записать в виде!
\[
\eta(r, t)=4 \pi \int_{0}^{\infty} x F(x) J_{0}(x r) \cos (W(x) t) d x .
\]

Аналогичным образом, формулу обращения преобразования Фурье можно јзаписать в виде одномерного интеграла
\[
F(x)=\frac{1 ;}{4 \pi} \int_{0}^{\infty} r \eta_{0}(r)_{4}^{\sigma} J_{0}(x r) d r .
\]

Конечно, эти равенства можно получить также разделением переменных в полярных координатах и преобразованием Фурье – Бесселя. Для $\delta$-образного начального условия $\eta_{0}(r)=\delta(r) /(2 \pi r)$ имеем
\[
\eta(r, t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} x J_{0}(x r) \cos \left(W(x)_{0}^{r} t\right) d x .
\]

К этим решениям можно применить асимптотические методы, описанные в гл. 11. В частности, согласно (11.24) – (11.25), асимптотическое поведение одномерного решения таково:
\[
\begin{aligned}
\eta \eta \sim 2 \operatorname{Re}_{3}\left(F(k) \sqrt{\frac{2 \pi}{t\left|W^{n}(k)\right|}} \exp \left\{i k x-i W(k) t+\frac{i \pi i}{4}\right\}\right), \\
t \rightarrow \infty, \quad \frac{i x}{t}>0,
\end{aligned}
\]

где $k(x, 1 t)$ – положительный корень уравнения
\[
W^{\prime}(k)=\frac{x !}{t},
\]

а $F(k)$ определяется формулой (13.29). Интерпретация этих выражений подробно рассмотрена в гл. 11, а свойства групповой скорости $C(k)$ указаны в формулах (12.4) – (12.6). Поскольку $C(k)$ убывающая функция от $k$, наиболее длинные волны идут в головной части возмущения, а за ними следуют более короткие волны. Групшовые линии постоянного $k$ и фазовые линии постоянной $\theta$ приведены на рис. 13.1 ; типичный волновой пакет изображен на рис. 13.2.

В случае конечной глубины существует конечная максимальная групповая скорость $\sqrt{g h_{0}}$ при $k h_{0} \rightarrow 0$, так что головная часть

Рис. 13.1. Групповые линии (сплошные кривые) и фазовые линии (штриховые кривые) для волн на воде.

возмущения движется со скоростью $\sqrt{g h_{0}}$. Резкий волновой фронт суцествует только в приближении (13.34), но не в полном решении. В полном решении возмущение затухает экспоненциально

Рис. 13.2. Волновой пакет вблизи фронта возмущения для волн на воде.
без осцилляций впереди фронта и здесь возмущение относительно мало. Поскольку $C(k)=W^{\prime}(k) \rightarrow \sqrt{g h_{0}}$ и $W^{\prime \prime}(k) \rightarrow 0$ при $k h_{0} \rightarrow$ $\rightarrow 0$, приближение (13.34) не приемлемо в окрестности переходной области. Исследуем теперь истинное поведение решения.