В ряде случаев ударные волны являются слабыми, так что $\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right) / \rho_{1}$ мало, но все же они не настолько слабы, чтобы их нельзя было описывать как разрывы. Полезно привести дія таких случаев некоторые приближенные выражения.

Когда интенсивность ударной волны $\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right) / \rho_{1}$ стремится к 0 , скорость ударной волны
\[
U=\frac{Q\left(\rho_{2}\right)-Q\left(\rho_{1}\right)}{\rho_{2}-\rho_{1}}
\]

стремится к характеристической скорости
\[
c(\rho)=\frac{d Q}{d \rho} .
\]

Для слабых волн выражение для скорости ударной волны $U$ можно разложить в ряд Тейлора по степеням ( $\left.\rho_{2}-\rho_{1}\right) / \rho_{1}$, что дает
\[
U=Q^{\prime}\left(\rho_{1}\right)+1 / 2\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right) Q^{\prime \prime}\left(\rho_{1}\right)+O\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right)^{2} .
\]

Скорость распространения $c\left(\rho_{2}\right)=Q^{\prime}\left(\rho_{2}\right)$ также можно разложить в ряд Тейлора
\[
c\left(\rho_{2}\right)=c\left(\rho_{1}\right)+\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right) Q^{\prime \prime}\left(\rho_{1}\right)+O\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right)^{2} .
\]

Следовательно,
\[
U=1 / 2\left(c_{1}+c_{2}\right)+O\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right)^{2},
\]

где $c_{1}=c\left(\rho_{1}\right)$ и $c_{2}=c\left(\rho_{2}\right)$. В этом приближении скорость ударной волны представляет собой среднее арифметическое характеристических скоростей на сторонах разрыва. В $(x, t)$-плоскости кривая, по которой распространяется разрыв, делит пополам угол, образованный характеристиками, пересекающимися на этой кривой.

Это свойство не только полезно при графическом изображении разрывов, но и упрощает аналитическое определение положения разрыва. Если $Q(\rho)$ – квадратичная функция, то это соотношение, очевидно, является точным.