В качестве интересного примера разложения вблизи волнового фронта рассмотрим уравнения речных волн, обсуждавшиеся в $§ 3.2$. Они имеют вид
\[
\begin{aligned}
h_{t}+v h_{x}+h v_{x} & =0, \\
v_{t}+v v_{x}+g^{\prime} h_{x} & =g^{\prime} S-C_{f} \frac{v^{2}}{h} .
\end{aligned}
\]

В равномерном потоке величины $h=h_{0}, v=v_{0}$ и $g^{\prime} S=C_{f} v_{0}^{2} / h_{0}$ постоянны. Волновой фронт имеет в этом случае постоянную скорость, так что положим $\xi=x-c t$. Решение за волновым фронтом ищем в виде рядов
\[
\begin{array}{l}
h=h_{0}+\xi h_{1}(t)+\frac{1}{2} \xi^{2} h_{2}(t)+\ldots, \\
v=v_{0}+\xi v_{1}(t)+\frac{1}{2} \xi^{2} v_{2}(t)+\ldots .
\end{array}
\]

Подставляя эти разложения в уравнения (5.44) и последовательно приравнивая члены с одинаковыми степенями $\xi$, получаем
\[
\begin{aligned}
\left(v_{0}-c\right) h_{1}+h_{0} v_{1} & =0, \\
g^{\prime} h_{1}+\left(v_{0}-c\right) v_{1} & =0 ; \\
\left(v_{0}-c\right) h_{2}+h_{0} v_{2}+\frac{d h_{1}}{d t}+2 v_{1} h_{1} & =0, \\
g^{\prime} h_{2}+\left(v_{0}-c\right) v_{2}+\frac{d v_{1}}{d t}+v_{1}^{2}+g^{\prime} S\left(\frac{2 v_{1}}{v_{0}}-\frac{h_{1}}{h_{0}}\right) & =0
\end{aligned}
\]

и т. д. Из первых двух уравнений имеем
\[
\left(c-v_{0}\right)^{2}=g^{\prime} h_{0}
\]

так что скорость распространения фронта волны составляет
\[
c=v_{0} \pm \sqrt{g^{\prime} h_{0}}
\]

кроме того,
\[
v_{1}=\frac{\left(c-v_{0}\right) h_{1}}{h_{0}} .
\]

Соотношение (5.47) позволяет исключить из уравнений (5.46) $h_{\text {2 }}$ и $v_{2}$. Полученное уравнение имеет вид
\[
g^{\prime} \frac{d h_{1}}{d t}+2 g^{\prime} v_{1} h_{1}+\left(c-v_{0}\right)\left\{\frac{d v_{1}}{d t}+v_{1}^{2}+g^{\prime} S\left(\frac{2 v_{1}}{v_{0}}-\frac{h_{1}}{h_{0}}\right)\right\}=0 .
\]

Исключив $v_{1}$ при помощи формулы (5.49), окончательно получим
\[
\frac{d h_{1}}{d t}+\frac{3}{2}\left(c-v_{0}\right) \frac{h_{1}^{2}}{h_{0}}+\frac{S}{v_{0}}\left(c-v_{0}\right)\left(c-\frac{3}{2} v_{0}\right) \frac{h_{1}}{h_{0}}=0 .
\]

Величина $h_{1}(t)$ совпадает с производной $h_{x}$ на волновом фронте.
Рассмотрим теперь различные частные случаи.
Волны на мелкой воде
В обычной теории мелкой воды в уравнениях (5.44) отсутствуют члены, характеризующие наклон и трение, и уравнение (5.50) принимает вид
\[
\frac{d h_{1}}{d t}=-\frac{3}{2}\left(c-v_{0}\right) \frac{h_{2}^{2}}{h_{0}} .
\]

Волны, распространяющиеся вниз по течению ( $\left.c=v_{0}+\sqrt{g h_{0}}\right)$, опрокидывается, если $h_{1}<0$; волны, распространяющиеся вверх по течению ( $\left.c=v_{0}-\sqrt{g h_{0}}\right)$, опрокидываются, если $h_{1}>0$.
Паводковые волны
Для паводковых волн, распространяющихся вниз по течению, $c=v_{0}+\sqrt{g^{\prime} h_{0}}$ и уравнение (5.50) записывается так:
\[
\frac{d h_{1}}{d t}=-\frac{3}{2} \sqrt{\frac{g^{\prime}}{h_{0}}} h_{1}^{2}-\frac{g^{\prime} S}{v_{0}}\left(1-\frac{v_{0}}{2 \sqrt{g^{\prime} h_{0}}}\right) h_{1} .
\]

Если $v_{0} / \sqrt{g^{\prime} h_{0}}>2$, то линейный член указывает на экспоненциальное возрастание независимо от знака $h_{1}$. Это свидетельствует о неустойчивости равномерного потока при таких условиях и согласуется с результатом, полученным из (3.41). Если же $v_{0} / \sqrt{g^{\prime} h_{0}}<2$, то линейный] член указывает на экспоненциальное убывание, отвечающее устойчивости. Однако если $h_{1}(0)<0$ и
\[
\left|h_{1}(0)\right|>\frac{2}{3} \frac{S \sqrt{g^{\prime} h_{0}}}{v_{0}}\left(1-\frac{1}{2} \frac{v_{0}}{\sqrt{g^{\prime} h_{0}}}\right),
\]

то $d h_{1} / d t<0$ п $h_{1} \rightarrow-\infty$ при конечном значении времени, что соответствует нелинейному опрокидыванию волнового фронта и образованию боры на фронте волны. Это согласуется с анализом, проведенным в § 3.2, где было показано, что достаточно сильной паводковой волне предшествует бора.
Приливная бора
Для волны, распространяющейся вверх по течению, $c=$ $=v_{0}-\sqrt{g^{\prime} h_{0}}$ и уравнение (5.50) принимает вид
\[
\frac{d h_{1}}{d t}=\frac{3}{2} \sqrt{\frac{g^{\prime}}{h_{0}}} h_{1}^{2}-\frac{g^{\prime} S}{v_{0}}\left(1+\frac{1}{2} \frac{v_{0}}{\sqrt{g^{\prime} h_{0}}}\right) h_{1} .
\]

Волна с положительным $h_{1}$ будет опрокидываться, если
\[
h_{1}(0)>\frac{2}{3} \frac{S \sqrt{g^{\prime} h_{0}}}{v_{0}}\left(1+\frac{1}{2} \frac{v_{0}}{\sqrt{g^{\prime} h_{0}}}\right) .
\]

Полученная оценка значения $h_{1}(0)$, приводящего к образованию боры, особенно интересна ввиду того хорошо известного факта, тто приливная бора возникает тишь в сравнительно малочисленных реках с достаточно высокой приливной волной в устье. Проведенный здесь анализ ограничен волновым фронтом, тогда как для описания приливной боры более подходит первоначально гладкий синусоидальный профиль. Однако при этом обнаруживаются достоинства аналитического результата: можно в явном виде установить зависимость от различных параметров, можно предсказать асимштотическое поведение для больших величин $x$ и $t$ и т. д.!

В непрерывном случае, для которого нельзя получить аналитическое решение, для установления четкого критерия могут потребоваться обширные численные расчеты. Поэтому предложенный выше подход дает полезные оценки. Действительно, Абботт [1], использовавший подобный анализ и детально применивший его к реке Северн, обнаружил удивительно хорошее согласование с наблюдениями. (Фактически Абботт в своей работе использовал теорию высокочастотных приближений, но оба подхода математически эквивалентны. Более того, последний подход менее оправдан, так как приливные изменения являются низкочастотными и можно оспаривать утверждение, что опрокидывание определяется только высокочастотными эффектами.)

Важно, однако, обобщить условие (5.52) так, чтобы учесть неоднородность потока и топографию невозмущенного состояния реки. Сужение реки вверх по течению особенно существенно для получения действительных оценок, поскольку оно способствует опрокидыванию волн и преодолению обычно доминирующего гасящего действия сил трения. Детали можно найти в статье Абботта.

С целью применения результатов о волновом фронте мы используем максимальную скорость изменения высоты приливной волны для определения $h_{1}(0)$. Если высота приливной волны в устье реки составляет
\[
h=h_{0}+a \sin \omega t,
\]

то максимальное значение производной $h_{t}$ равно $a \omega$. В разрывной теории исходное значение $h_{t}$ на волновом фронте равно $\left(\sqrt{g^{\prime} h_{0}}-v_{0}\right) h_{1}(0)$. Положим поэтому
\[
h_{1}(0)=\frac{a \omega}{\sqrt{g^{\prime} h_{0}}-v_{0}} .
\]

Для однородного канала условие (5.52) предсказывает образование боры в случае, когда
\[
a \omega>\frac{2 S}{3 v_{0}}\left(\sqrt{g^{\prime} h_{0}}-v_{0}\right)\left(\sqrt{g^{\prime} h_{0}}+\frac{1}{2} v_{0}\right) .
\]

Используя равенство $g^{\prime} S=C_{f} v_{0}^{2} / h_{0}$, эту формулу можно переписать в различных видах и наиболее удачным является, пожалуй, следующий:
\[
a \omega>\frac{2}{3} C_{f} v_{0}\left(1-\frac{v_{0}}{\sqrt{g^{\prime} h_{0}}}\right)\left(1+\frac{1}{2} \frac{v_{0}}{\sqrt{g^{\prime} h_{0}}}\right) .
\]

Для рек величина $v_{0} / \sqrt{g^{\prime} h_{0}}$ довольно мала, так что правую часть можно аппроксимировать первым сомножителем. Для типичных значений $v_{0}=5$ футов в секунду и $C_{f}=0,006$ это выражение дает для $a$ недостижимое значение порядка 100 футов. Эффекты сужения и другие факторы значительно снижают эту величину, хотя все же необходимы исключительно высокие приливы и быстро изменяющаяся топография. Именно по этой причине так мало рек, в которых возникают боры. Для реки Северн Абботт установил, что с учетом всех нелинейных эффектов требуемая величина высоты прилива $2 a$ равна 39,4 фута. Сизигийные приливы имеют среднюю высоту 41,4 фута, тогда как средняя высота квадратурных приливов составляет 22,2 фута. Таким образом, Абботт предсказывает, что бора должна образовываться в течение примерно четырех дней во время наиболее высоких приливов. Это, по-видимому, подтверждается наблюдениями. Его оценки расстояния вверх по течению, на котором образуется бора, и ее максимальной высоты также хорошо согласуются с наблюдениями.