Обратимся теперь к развитию приближенной геометрической теории распространения ударных волн в двух- и трехмерных задачах при отсутствии специальной симметрии (Уизем [6,9]). Рассмотрим ударную волну, распространяющуюся в однородном неподвижном газе, и, опираясь на результаты геометрической оптики для линейных задач, введем «лучи», определяемые как ортогональные траектории последовательных положений ударной волны.

В качестве частного примера рассмотрим дифракцию ударной волны на закругленном угле, изображенную на рис. 8.2. Положения ударной волны показаны сплошными кривыми, а лучи – штриховыми. Идея состоит в том, чтобы рассматривать распространение каждого элемента ударной волны по каждой әлементарной трубке лучей как задачу о распространении ударной волны по трубе с твердыми стенками.

Рис. 8.2. Положения ударной волны (сплошные кривые) и лучей (штриховые кривые) при дифракции ударной волны на закругленном угле.
Эквивалентность была бы полной, если бы лучи были траекториями частиц, поскольку твердые стенки являются траекториями частиц для невязкого течения. Однако это верно только приблизительно. В силу условий на разрыве, возмущенное течение непосредственно за ударной волной должно быть нормальным к ней, но по мере удаления от ударной волны траектории частиц в общем случае отклоняются от лучей. Таким образом, здесь используется определенное приближение, причем оно может быть довольно грубым. Однако только таким или каким-либо подобным способом геометрические эффекты можно выделить из полной сложной картины течения. В задаче о дифракции на угле (рис. 8.2) сама стенка на всей своей протяженности является как лучом, так и траекторией частицы; поэтому возникает некоторое дополнительное препятствие отклонению луча от траектории частицы позади ударной волны.

Точность приближения такого типа трудно оценить заранее, а приближения высших порядков практически невозможны. Как

оправдание мы покажем, что эта теория сводится в точности к геометрической оптике для линейных задач, и сравним нелинейные результаты как с другими теоретическими результатами для частных случаев, так и с экспериментом. Возможно, стоит заметить, что приближения, которые легко оценить, обычно связаны с малыми возмущениями. Здесь мы рассматриваем эффекты больших возмущений в чрезвычайно сложных задачах.

Приближение трубок лучей не зависит от способа рассмотрения распространения по каждой из трубок. Однако мы предполагаем, что локальное число Маха будет функцией от. площади сечения трубки, и за отсутствием какой-либо другой явной формулы воспользуемся результатами § 8.1, в частности соотношением (8.37). Положение ударной волны в момент времени $t$ удобно описывать равенством
\[
\alpha(\mathbf{x})=a_{0} t,
\]

где $a_{0}$ – невозмущенная скорость звука. Тогда последовательные положения ударной волны задаются семейством поверхностей $\alpha(\mathbf{x})=$ const. Ясно, что в принципе мы можем определить функцию $\alpha(\mathbf{x})$. Во-первых, при помощи равенства (8.43) можно выразить число Маха ударной волны в любой точке через $\alpha(\mathbf{x})$. Вовторых, по функции $\alpha(\mathbf{x})$ должно быть возможно определить всю геометрию лучей, поскольку она описывает семейство положений ударной волны: это позволяет найти площадь сечения трубки лучей. Тогда соотношение между $A$ и $M$ обеспечивает переход к выводу уравнения для $\alpha(\mathbf{x})$.

Нормальная скорость любой движущейся поверхности $S(t, \mathbf{x})=$ $=0$ была указана формулой (7.63). Если применить это соотношение к $S=a_{0} t-\alpha(\mathbf{x})$, то скорость ударной волны окажется равной $U=a_{0} /|
abla \alpha| ;$ следовательно,
\[
M=\frac{1}{|
abla \alpha|} \text {. }
\]

Для изучения геометрии трубок лучей удобно ввести единичный вектор I для направления луча в произвольной точке и функцию $A$, связанную с площадью сечения трубки. Определение вектора 1 очевидно; он выражается через $\alpha$ равенством
\[
\mathbf{l}=\frac{
abla \alpha}{|
abla \alpha|},
\]

поскольку лучи ортогональны поверхностям $\alpha=$ const. Для определения функции $A$ потребуются некоторые разъяснения.

Мы хотим ввести конечную функцию точки пространства, которую можно было бы использовать в качестве меры площади сечения произвольной бесконечно тонкой трубки лучей. Для этого рассмотрим какой-либо фиксированный луч и построим вокруг него тонкую трубку, состоящую из пучка близлежащих лучей.

Затем можно ввести отношение площади произвольного попереч«ого сечения трубки лучей к площади некоторого фиксированного сечения. В пределе, когда максимальный диаметр трубки лучей стремится к нулю, это отношение приближается к конечному пределу и соответствующая предельная функция принимается за функцию $A$ на выбранном луче. Аналогичным образом әта функция определяется на каждом луче и таким образом становится функцией точки пространства.

Для любой бесконечно тонкой трубки лучей функция $A$ теперь скорее пропорциональна площади сечения трубки, чем равна самой площади. Однако в соотношении (8.37) фигурирует только отношение площадей, так что эта величина $A_{\text {, все }}$ еще связана с локальным числом Маха равенством
\[
\frac{A}{A_{0}}=\frac{f(M)}{f\left(M_{0}\right)}
\]

По этой же причине исходная точка отсчета для отношения площадей поперечных сечений на трубках лучей выпадает и заменяется начальным условием $A=A_{0}$ при $M=M_{0}$, входящим в (8.46). Действительно, в качестве $A$ можно взять любую конечную функцию, которая при движении вдоль бесконечно тонкой трубки изменяется пропорционально площади сечения трубки. Различные коэффициенты пропорциональности на различных лучах будут компенсироваться различными значениями $A_{0}$.

Связь $A$ с функцией $\alpha(\mathrm{x})$, определяющей положение ударной волны, по существу определяется тем, что возрастание $A$ вдоль луча связано с дивергенцией лучевого вектора 1 , определяемого равенством (8.45). Действительно, сейчас мы покажем, что выполняется соотношение
\[

abla \cdot\left(\frac{1}{A}\right)=0,
\]

которое можно переписать также в виде
\[
\frac{1}{A} \frac{d A}{d s}=\frac{1 \cdot
abla A}{A}=
abla \cdot 1
\]

Для доказательства равенства (8.47) следует применить теорему о дивергенции к объему $V$ тонкой трубки лучей между двумя последовательными положениями ударной волны, как показано на рис. 8.3. Имеем
\[
\int_{V}
abla \cdot\left(\frac{1}{A}\right) d V=\int_{S_{1}+\Sigma+S_{2}} \frac{1 \cdot v}{A_{*}^{*}} d S_{1}
\]

где $\Sigma$ – боковая поверхность трубки, $S_{1}$ и $S_{2}$ – основания, а $v$ – внепняя нормаль. На боковой поверхности $1 \cdot v=0$, согласно определению 1 , так что поверхность $\Sigma$ не дает вклада в этот инте-

грал. На $S_{2}$ величина $\mathbf{l} \cdot \boldsymbol{v}=+1$, а на $S_{1}$ величина $\mathbf{l} \cdot \mathbf{v}=-1$. Тогда правая часть равенства (8.49) сводится к разности
\[
\int_{S_{2}} \frac{d S}{A}-\int_{S_{1}} \frac{d S}{A} .
\]

Если диаметр трубки стремится к нулю, то, в силу определения функции $A$, оба интеграла стремятся к одному и тому же значению,
Рис. 8.3. Геометрия трубки лучей.

так что их разность стремится к нулю. Следовательно, интеграл в левой части (8.49) равен нулю. Поскольку объем $V$ был выбран произвольно, это означает, что равенство (8.47) выполняется всюду.

Уравнения (8.44)-(8.47) дают уравнение в частных производных для $\alpha(\mathbf{x})$. Собрав результаты, получим
\[
\begin{aligned}
M & =\frac{1}{|
abla \alpha|}, \\

abla \cdot\left(\frac{M}{A}
abla \alpha\right) & =0, \\
\frac{A}{A_{0}} & =\frac{f(M)}{f\left(M_{0}\right)},
\end{aligned}
\]

где уравнение (8.51) получено из (8.47) при помощи равенства $\mathbf{l}=
abla \alpha /|
abla \alpha|=M
abla \alpha$.

Эти выражения удобны для сравнения с результатами геометрической оптики и линейной теории. Линейный предел отвечает $M \rightarrow 1$, и линейная теория заменяет уравнения (8.50)-(8.52) соответственно следующими уравнениями:
\[
\begin{aligned}
|
abla \alpha| & =1, \\

abla \cdot\left(\frac{1}{A}
abla \alpha\right) & =0, \\
\frac{A}{A_{0}} & =\left(\frac{M_{0}-1}{M-1}\right)^{2}
\end{aligned}
\]

Заметим, что в первых двух уравнениях, связанных с геометрией, $M$ тождественно заменяется единицей, но в уравнение (8.55) входит $M-1$ как мера интенсивности (которая мала) ударной

волны. Таким образом геометрия не связана более с определением интенсивности волны. Параметры течения, такие, как $z=$ $=\left(p-p_{0}\right) / p_{0}$, пропорциональны $M-1$, и линейная теория использует скорее $z$, чем $M-1$. Из уравнений (8.54) и (8.55) имеем
\[

abla \cdot\left(z^{2}
abla \alpha\right)=0 .
\]

Уравнение (8.53) совпадает с уравнением эйконала (7.65) с учетом нормировки $\alpha$ на скорость звука, а уравнение (8.56) – не что иное, как уравнение переноса (7.66) с $z \sim \Phi_{0}$. В линейной теории сначала было выведено уравнение (8.56), а затем найдена интерпретация $z \sim A^{-1 / 2}$, соответствующая уравнению (8.55). Использованные здесь рассуждения привели непосредственно к тому, что раньше было «интерпретацией». Основной момент, однако, состоит в том, что развитая здесь теория в соответствующем пределе сводится к линейной теории. Главное отличие нелинейной теории состоит в том, что интенсивность волны $z$ связана с $M$. Даже для слабых ударных волн с $M-1 \ll 1$ эта связь может привести к важным качественным отличиям.
8.4. Двумерные задачи

В двумерном случае положения ударной волны и лучи образуют ортогональную координатную сетку, как показано на рис. 8.4,
Рис. 8.4. Линейные әлементы динамики ударных волн.

и -для некоторых целей удобно переписать уравнения в этих координатах. Последовательные положения ударной волны уже представлены семейством кривых $\alpha=$ const, и мы введем функцию $\beta(x)$, представляющую лучи как семейство кривых $\beta=$ const. Интересующие нас уравнения, в которых $\alpha$ и $\beta$ используются как независимые координаты, можно получить непосредственным преобразованием уравнений (8.50)-(8.52), но в целях выяснения

дальнейших свойств геометрии поучительно провести независимый вывод. (Эти рассуждения фактически являлись основой первоначального вывода данной теории.)

В описании, основанном на сетке кривых $\alpha=$ const, $\beta=$ const, геометрия тесно связана с линейными элементами, соответствующими приращениям координат $d \alpha$ и $d \beta$, и геометрия трубок лучей вводится через масптабные коэффициенты этих элементов.

Линейный элемент, соответствующий приращению $d \beta$, равен $A(\alpha, \beta) d \beta$, где $A$ – некоторая функция. Эта функция $A$, очевидно, пропорциональна ширине лучевого канала между лучами $\beta$ и $\beta+d \beta$. В двумерной задаче трубки лучей имеют постоянную глубину в третьем измерении, поэтому $A$ пропорциональна площади трубки и может быть использована вместо этой площади.

Приращение $d \alpha$ соответствует изменению положения ударной волны за время $d t=d \alpha / a_{0}$. Следовательно, пройденное расстояние равно $U d t=M d \alpha$. Отсюда следует, что длина элемента дуги, соответствующая приращению $d \alpha$, равна $M d \alpha$. В общем случае длина элемента дуги выражается формулой
\[
d s^{2}=M^{2} d \alpha^{2}+A^{2} d \beta^{2} .
\]

Функции $M$ и $A$ в таких ортогональных координатах не могут быть произвольными функциями от $(\alpha, \beta)$. Они удовлетворяют некоторому дифферендиальному уравнению, которое следует из известного нам факта, что двумерное пространство, описываемое метрикой (8.57), в действительности плоское. Поэтому кривизна, вычисленная при помощи $M$ и $A$, должна обращаться в нуль. Можно формулировать это иначе: функции $M$ и $A$ должны быть такими, чтобы выражение (8.57) можно было преобразовать в следующее выражение:
\[
d s^{2}=d x^{2}+d y^{2} .
\]

Соответствующее условие, которое будет выведено ниже, имеет вид
\[
\frac{\partial}{\partial \alpha}\left(\frac{1}{M} \frac{\partial A}{\partial \alpha}\right)+\frac{\partial}{\partial \beta}\left(\frac{1}{A} \frac{\partial M}{\partial \beta}\right)=0 .
\]

Если добавить соотношение между $A$ и $M$, то получится полная система уравнений для определения $A(\alpha, \beta)$ и $M(\alpha, \beta)$. Зная их, можно найти лучи и положения ударной волны как функции от $x$ и $y$.

Для доказательства (8.58) рассмотрим криволинейный четырехугольник $P Q R S$ (рис. 8.4) с вершинами $(\alpha, \beta),(\alpha+\delta \alpha, \beta)$, $(\alpha, \beta+\delta \beta),(\alpha+\delta \alpha, \beta+\delta \beta)$. Пусть $\theta(\alpha, \beta)-$ угол между лучом и фиксированным направлением, скажем осью $x$. Поскольку стороны $P S$ и $Q R$ имеют длины $A \delta \beta$ и $\left(A+A_{\alpha} \delta \alpha\right) \delta \beta$ соответственно, а расстояние между ними равно $M \delta \alpha$, \”изменение наклона луча

при переходе из точки $P$ в $S$ составляет
\[
\delta \theta=\frac{Q R-P S}{P Q}=\frac{1}{M} \frac{\partial A}{\partial \alpha} \delta \beta .
\]

Отсюда
\[
\frac{\partial \theta}{\partial \beta}=\frac{1}{M} \frac{\partial A}{\partial \alpha} .
\]

Так как наклон кривой $\beta$ равен $\theta+1 / 2 \pi$, аналогичные рассуждения показывают, что
\[
\frac{\partial \theta}{\partial \alpha}=-\frac{13 \beta M i}{A} \frac{\partial \beta}{\partial \beta} .
\]

Уравнение (8.58) получается исключением $\theta$, но удобнее работать с системой уравнений (8.59) и (8.60). Система замыкается добавлением соотношения между $A$ и $M$ :
\[
A=A_{0} \frac{f(M)}{f\left(M_{0}\right) !} \text {. }
\]

Эквивалентность уравнений (8.59) – (8.60) и (8.50) – (8.51) легко устанавливается с помощью соотношений
\[
\begin{array}{ll}
\alpha_{x}=\frac{\cos \theta}{M}, & \alpha_{y}=\frac{\sin \theta}{M}, \\
\beta_{x}=-\frac{\sin \theta}{A}, & \tilde{\beta}_{y}=\frac{\cos \theta}{A} .
\end{array}
\]

Как только $\theta, M$ и $A$ найдены как функции от $\alpha$ и $\beta$, положения ударной волны можно получить интегрированием вдоль лучей. На луче
\[
\frac{\partial x}{M \partial \alpha}=\cos \theta, \quad \frac{\partial y}{M \partial \alpha}=\sin \theta .
\]

Следовательно, выражения
\[
\begin{array}{l}
x=x_{0}(\beta)+\int_{0}^{\alpha} M \cos \theta d \alpha, \\
y=y_{0}(\beta)+\int_{0}^{\alpha} M \sin \theta d \alpha
\end{array}
\]

определяют положение ударной волны в момент времени $t=\alpha / a_{0}$ по известному положению $x=x_{0}(\beta), y=y_{0}(\beta)$ при $t=0$.

В общем случае коэффициент $A_{0} / f\left(M_{0}\right)$ в (8.61) может зависеть от $\beta$, поскольку и $A_{0}$, и $M_{0}$ могут изменяться вдоль кривой $\alpha=0$, определяющей исходное положение ударной волны. Но мы можем ввести новую переменную $\beta$ и новую функцию $A$ для того, чтобы исключить эту зависимость. Инвариантной величиной

является длина элемента дуги $A d \beta$. Если $A=k(\beta) \bar{A}$, то
\[
A d \beta=k(\beta) \bar{A} d \beta=\bar{A} d \bar{\beta},
\]

где
\[
\bar{\beta}=\int k(\beta) d \beta .
\]

Таким образом, любой нежелательный множитель $k(\beta)$ можно поглотить выбором новой $\vec{\beta}$. Будем считать, что это проделано, если не указано противное, и положим $A=A(M)$. В задаче дифракции (рис. 8.2) исходная ударная волна $\alpha=0$ является плоской и $M_{0}=$ const. Выберем в качестве $\beta$ расстояние от стенки в этой однородной области. Тогда $A_{0}=1$ и
\[
A=\frac{f(M)}{f\left(M_{0}\right)} .
\]