Нелинейные эффекты, обнаруженные при изучении волн на воде, характерны для общих диспергирующих систем. Периодические волновые пакеты, подобные волнам Стокса и Кортевега – де Фриза, найдены для большинства систем и являются исходными решениями, аналогичными элементарным решениям $a e^{i k x-i \omega t}$ в линейной теории. В нелинейной теории решения уже не синусоидальны, но вопрос о существовании решений, периодических по $\theta=$ $=k x-\omega t$, решается явными формулами в простейших случаях и связывается с разложением Стокса в остальных. Основной нелинейный әффект заключается не в изменении функциональной формы, а в зависимости дисперсионного соотношения от амплитуды. Это приводит к качественно новому поведению, а не только к поправкам к линейным формулам.

Для построения волновых пакетов более общего вида нельзя использовать суперпозицию репений, но теорию модуляции можно изучать непосредственно. Эту теорию можно развить в общем виде, используя вариационный подход § 11.7. В этой главе вариационный подход будет детально изучен и для завершения предыдущего обсуждения обоснован как формальный метод теории возмущений. Подробные приложения теории будут даны в гл. 15 и 16.

Другим характерным следствием нелинейности является существование уединенных волн. Волны с такими профилями в линейной теории диспергируют, но нелинейность уравновешивает дисперсию и приводит к волнам неизменной формы. Уединенные волны были обнаружены сначала как предельные случай периодических волновых пакетов; недавние исследования их взаимодействия и образования из произвольных начальных распределений показали, что их особая структура имеет самостоятельное значение. Мы вернемся к этим вопросам в гл. 17.

Для волн сравнительно небольпой амплитуды дальнейшие результаты можно получить методами теории возмущений, которые основаны на разложениях по малой амплитуде и которые можно назвать «почти линейной теорией». В частности, можно вернуться к описанию, базирующемуся на фурье-анализе, и исследовать малые нелинейные взаимодействия между фурье-компонентами. При взаимодействии различных компонент между ними происходит перераспределение энергии, а вследствие наличия в уравнениях членов типа произведений из существующих компонент генерируются новые. Эти взаимодействия можно эффективно

проследить только в случае, когда фигурируют лишь несколько компонент.

Мы приведем характерные результаты, но основное внимание уделим методам, распространяющимся на полностью нелинейный случай. С точки зрения фурье-анализа нелинейные волновые пакеты и уединенные волны уже имеют довольно сложные распределения фурье-компонент с уравновешенными взаимодействиями. Описываемый здесь подход опирается непосредственно на эти специальные структуры, не пытаясь разложить их на компоненты. Однако в почти линейном случае можно установить интересные и содержательные связи между этими двумя точками зрения.