Для волн на глубокой воде применима простая теория § 14.2. Согласно (16.101), имеем
\[
\omega_{0}(k)=(g k)^{1 / 2}, \quad \omega_{2}(k)=\frac{1}{2}(g k)^{1 / 2} k .
\]

Величина $\omega_{0}^{\prime \prime} \omega_{2}<0$ и, следовательно, модуляции со временем растут. Для конечной глубины становится важной связь с индуцированным средним течением, носящая стабилизирующий характер.

Устойчивость определяется типом полной системы уравнений (16.91) – (16.92), которая является системой четвертого порядка для неизвестных функций $k, E, \beta, h$. Тип в свою очередь определяется характеристиками. Характеристические скорости можно найти непосредственными вычислениями, но последние довольно громоздки.

Анализ можно упростить и придать ему более выразительную форму, разбив переменные на две части. Прежде всего формулы (16.99) с достаточной точностью выражают $h$ и $\beta$ через $E$. В то же время этот первый шаг дает величины двух характеристических скоростей, а именно $\pm \sqrt{g h_{0}}$. Теперь выражения для $h$ и $\beta$ можно подставить в уравнения (16.91) для $k$ и $E$ и определить две остальные характеристические скорости.

Считая, что $b=h-h_{0}$ и $\beta$ имеют порядок $O(E)$, дисперсионное соотношение (16.80) можно аппроксимировать равенством
\[
\omega=\omega_{0}+k \beta+k\left(C_{0}-\frac{1}{2} c_{0}\right) \frac{b}{h_{0}}+\frac{9 T_{0}^{4}-10 T_{0}^{2}+9}{8 T_{0}^{3}} \frac{k^{2} E}{\rho c_{0}}+O\left(E^{2}\right) .
\]

В силу (16.99), это дает
\[
\omega=\omega_{0}(k)+\Omega_{2}(k) \frac{k^{2} E}{\rho c_{0}}+O\left(E^{2}\right),
\]

где
\[
\Omega_{2}=\frac{9 T_{0}^{ \pm}-10 T_{0}^{2}+9}{8 T_{0}^{3}}-\frac{1}{k h_{0}}\left\{\frac{\left(2 C_{0}-1 / 2 c_{0}\right)^{2}}{g h_{0}-C_{0}^{2}}+1\right\} .
\]

Поскольку $b$ и $\beta$ исключены, мы теперь имеем для $k$ и $E$ простые уравнения модуляций рассмотренного в § 14.2 типа и можем выписать характеристические скорости без дальнейших выкладок! Искомые характеристические скорости равны
\[
C_{0} \pm\left(\frac{\omega_{n}^{\prime} \Omega_{2} k^{2} E}{\rho c_{\jmath}}\right)^{1 / 2} .
\]

Здесь $\omega_{0}=\left(g k \text { th } k h_{0}\right)^{\mathbf{1} / 2}$ и $\omega_{0}^{\prime \prime}$ всегда отрицательна. Таким образом, характеристики являются мнимыми при $\Omega_{2}>0$ и вещественными при $\Omega_{2}<0$. Формула для $\Omega_{2}$ ясно указывает на стабилизирующий эффект среднего течения по мере убывания величины $k h_{0}$ от предела глубокой воды. Критическое значение определяется величиной $k h_{0}$, для которой $\Omega_{2}=0$. Это значение было найдено численно и оказалось равным $k h_{0}=1,36$. При $k h_{0}>1,36$ модуляции растут; при $k h_{0}<1,36$ они распространяются типичным гиперболическим образом.

Неустойчивость для волн на глубокой воде впервые была установлена Бенджаменом [1] ${ }^{1}$ ) при помощи рядов Фурье, указанных в §15.6. Именно тогда была понята важность эллиптических уравнений модуляций и было выведено критическое значение $k h_{0}=$ $=1,36$ для случая конечной глубины. Это значение затем было подтверждено Бенджаменом с помощью его фурье-компонентного подхода. Такая последовательность событий указывает на ценную взаимосвязь двух подходов.

Следует опять отметить, что «неустойчивый случай» указывает на рост модуляций и необязательно на хаотическое движение. Чтобы оценить окончательное поведение, следует включить дисперсионные члены высшего порядка, как было описано в § 15.5. Из проведенного там анализа мы заключаем, что следующей стадией будет развитие модуляций, для которых огибающей волнового пакета явится последовательность уединенных волн.