Ситуация, возникающая в связи с опрокидыванием волн и формированием ударных волн, во многих отношениях почти та же, что в случае одного квазилинейного уравнения. Некоторые решения, первоначально однозначные и даже непрерывные, переходят

в многозначные: волны опрокидываются. Это снова интерпретируется как неадекватность предположений, лежащих в основе вывода системы (5.1); однако, допустив разрывные решения, можно хорошо апщроксимировать характерные черты профиля.

Мы опять будем считать, что при выводе дифференциальных уравнений исходными были соответствующие уравнения в интегральной форме
\[
\frac{d}{d t} \int_{x_{2}}^{x_{1}} f_{i} d x+\left[g_{i}\right]_{x_{2}}^{x_{1}}+\int_{x_{2}}^{x_{1}} h_{i} d x=0,
\]

где $f_{i}, g_{i}$ и $h_{i}$ – различные величины, представляющие интерес в данной физической задаче. Например, в задачах механики $f_{i}$ и $g_{i}$ могут быть плотностью и потоком массы, или плотностью и потоком импульса, или плотностью и потоком энергии. Величина $h_{i}$ описывает распределенные источники, такие, как импульс массовых сил в законе сохранения импульса. Уравнение (5.54) представляет собой закон сохранения рассматриваемой физической величины (массы, импульса, энергии и т. д.).

Плотности $f_{i}$ являются функциями от $(x, t)$ и $n$ основных переменных $\mathbf{u}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)$; в общем случае получается $n$ уравнений (5.54), описывающих соответствующие физические законы. Затем делаются различные упрощающие предположения, связывающие $g_{i}$ и $h_{i}$ с $x, t$ и и. В первом приближении $g_{i}$ и $h_{i}$ будут просто функциями от $x, t$ и $\mathbf{u}$. Если и имеет непрерывные первые производные, то уравнение (5.54) можно записать в дифференциальной форме
\[
\frac{\partial f_{i}(x, t, \mathbf{u})}{\partial t}+\frac{\partial g_{i}(x, t, \mathbf{u})}{\partial x}+h_{i}(x, t, \mathbf{u})=0 .
\]

Это закон сохранения в дифференциальной форме.
Если необходимо ввести в рассмотрение разрывы и, то следует использовать интегральную форму (5.54), причем вопрос о зависимости $g_{i}$ и $h_{i}$ от и сначала остается открытым. Если в точке $x=s(t)$ возникает разрывная ударная волна, то те же самые рассуждения, что и в § 2.3 , дают условия на разрыве
\[
-U\left[f_{i}\right]+\left[g_{i}\right]=0, \quad i=1, \ldots, n,
\]

где $U$ – скорость распространения разрыва $\dot{s}(t)$. Затем можно ожидать, что по обе стороны разрыва еще с достаточной точностью выполняются соотношения
\[
g_{i}=g_{i}(x, t, \mathbf{u}), \quad h_{i}=h_{i}(x, t, \mathbf{u}),
\]

справедливые в областях непрерывности решения. Следовательно, условия (5.56) применимы с той же самой функциональной зависимостью $g_{i}$ от u. Как и в гл. 2 , более тщательный выбор $g_{i}$ связан с введением производных от $\mathbf{u}_{x}$ и разрывы переходят в узкие области резкого изменения. Однако разрывная теория проще и обычно оказывается удовлетворительной.

Формальное определение слабого решения системы (5.55), приводящее к условиям на разрыве (5.56), почти полностью повторяет рассуждения, проведенные в § 2.7. Вычисляя производные, входящие в уравнение (5.55), получаем систему (5.1), причем
\[
A_{i j}=\frac{\partial f_{i}}{\partial u_{j}}, \quad a_{i j}=\frac{\partial g_{i}}{\partial u_{j}} .
\]

Понятие слабого решения применимо лишь к этим частным уравнениям вида законов сохранения. Более того, надо особо подчеркнуть важное обстоятельство отсутствия единственности. В типичных примерах, связанных с системой вида (5.1), можно найти более $n$ различных уравнений в форме закона сохранения (5.55). Условия на разрыве (5.56), полученные при выборе каких-либо $n$ из них, математически будут удовлетворяться, но правильное решение задачи дадут только те $n$ уравнений, которые соответствуют исходным физическим законам (5.54). Хороший пример такой неединственности возникает в газовой динамике (см. гл. 6). Из-за такой неединственности мы особенно подчеркиваем здесь связь с физическими законами.