Функция $c(M)$ возрастает с ростом $M$. Следовательно, волны, движущиеся в положительном направлении и несущие возрастание числа Маха $M$ и $\theta$, должны опрокидываться в силу нелинейности. Исходя из известных нам результатов для аналогичных задач, можно предположить, что придется ввести разрывы переменных $M$ и $\theta$, соответствующие изломам фронта ударной волны, как показано на рис. 8.6. В этой приближенной теории мы следуем обычной интерпретации таких разрывов типа «ударной волны» и выводим условия на разрыве из основных уравнений в форме ваконов сохранения. Такие «ударные волны» в исходной газодинамической ударной волне мы будем называть вторичными ударными волнами ${ }^{1}$ ).

Эти вторичные ударные волны интерпретируются как след близких к цилиндрическим волн, распространяющихся в течении за
1) Из всех возможных эквивалентов нетривиального термина «shockshocks», использованного в оригинале, этот представился нам наиболее приемлемым.- Прим. ред.

ударной волной. Вторичная ударная волна представляет собой след настоящей газодинамической ударной волны в течении за основной ударной волной. Таким образом, это соответствует отражению Маха с тремя ударными волнами (описанному в конце
Рис. 8.6. Јинейные элементы для вторичної ударной волны.

гл. 6), которое было изучено и описано независимо от излагаемой теории. В дальнейшем мы обсудим связь с отражением $М а х а$ более подробно.

Дифференциальные уравнения (8.59) и (8.60) рассматриваемой теории были получены с помощью метрики (8.57) в ( $\alpha, \beta$ )-пространстве. Для вывода условий на разрыве требуется соответствующая интегральная форма уравнений. Рассмотрим окрестность разрыва для двух последовательных положений ударной волны, как показано на рис. 8.6. Пусть разность $\alpha$-координат для этих положений ударной волны составляет $\Delta \alpha$, а разность $\beta$-координат составляет $\Delta \beta$. Пусть, далее, индексы 1 и 2 означают величины до разрыва и после него. Тогда, согласно рис. 8.6, $P Q=M_{2} \Delta \alpha, Q R=$ $=A_{2} \Delta \beta, \quad S R=M_{1} \Delta \alpha, P S=A_{1} \Delta \beta$. Выражая расстояние $P R$ двумя различными способами, получаем
\[
\left(M_{1} \Delta \alpha\right)^{2}+\left(A_{1} \Delta \beta\right)^{2}=\left(M_{2} \Delta \alpha\right)^{2}+\left(A_{2} \Delta \beta\right)^{2} .
\]

Но отношение $\Delta \beta / \Delta \alpha$ равно скорости $C$ вторичной ударной волны в $(\alpha, \beta)$-координатах, откуда
\[
\left\lceil C^{2}=-\frac{M_{2}^{2}-M_{1}^{2}}{A_{2}^{2}-A_{1}^{2}} .\right.
\]

Соответствующий скачок переменной $\theta$ определяется равенством
\[
\operatorname{ctg}\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)=\operatorname{tg}(\angle R P Q+\angle R P S)=\frac{A_{2} C / M_{2}+M_{1} / A_{1} C}{1-A_{2} M_{1} / M_{2} A_{1}} .
\]

Подставляя для $C$ выражение (8.80), находим
\[
\operatorname{tg}\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)=\frac{\left(M_{2}^{2}-M_{1}^{2}\right)^{1 / 2}\left(A_{1}^{2}-A_{2}^{2}\right)^{1 / 2}}{A_{2} M_{2}+A_{1} M_{1}} .
\]

В декартовых координатах $(x, y$ ) равенство (8.80) преобразуется к виду
\[
\operatorname{tg}\left(\chi-\theta_{i}\right)=\frac{A_{i}}{M_{i}}\left(\frac{M_{2}^{2}-M_{1}^{2}}{A_{1}^{2}-A_{2}^{2}}\right)^{1 / 2}, \quad i=1 \text { или } 2,
\]

где $\chi$ – угол, составляемый фронтом вторичной ударной волны с осью $x$.

Предполагается, что функциональное соотношение (8.61) между $A$ и $M$ остается в силе и для резкого изменения площади канала в месте возникновения вторичной ударной волны, скорость $C$ выражается через $M_{1}$ и $M_{2}$ формулой (8.80), а скачок переменной $\theta$ определяется равенством (8.81). Тогда легко проверить, что для слабых вторичных ударных волн, когда $M_{2}-M_{1} \rightarrow 0$, величина (8.80) сводится, как и должно быть, к характеристической скорости (8.67), а выражение (8.81) сводится к выражению для инварианта Римана. Однако для достаточно сильных вторичных ударных волн равенство (8.61) будет неточно определять зависимость $A_{2}$ от $M_{2}$, поскольку эта зависимость выведена в предположении о медленном изменении сечения канала.

Вопрос не исчерпывается установлением правильных формул, связывающих $M$ и $A$ при резком изменении сечения канала; такие формулы были найдены Јапортом [1]. Фактически, как следует из традиционного рассмотрения отражения Маха, существуют третья ударная волна и вихревой след за основной ударной волной. Поэтому на основе анализа таких конфигураций с тремя ударными волнами в принципе можно получить дополнительные соотношения. Это привело бы к усложнениям, деталями которых заниматься, по-видимому, не стоит в силу приближенного характера теории. Можно, однако, отметить, что если это проделать, то связь между $A$ и $M$ для волн, следующих за вторичной ударной волной, примет вид
\[
A=k(\beta) f(M),
\]

где $k(\beta)=A_{2} / f\left(M_{2}\right)$ определяется из соотношений для трех ударных волн; было бы неверным продолжить это соотношение между $A$ и $M$ через вторичную ударную волну назад в исходное положение и положить $k=A_{0} / f\left(M_{0}\right)$.

В целом ситуация аналогична тому, что происходит с энтропией в обычной газовой динамике, где прежде всего полагают $p=p(\rho)$, и это приводит к простым волнам. Но затем, поскольку волны сжатия опрокидываются, приходится вводить ударные волны, а они приводят к изменениям энтропии, так что $p$ больше не

является функцией только от $\rho$; за ударной волной әнтропия постоянна лишь на траектории данной частицы. Аналогично обстоит дело с $A$ и $M$, подобными $p$ и $\rho$, и $k$, играющим роль энтропии. Более простая теория вторичных ударных волн (8.80) и (8.81) c $A=A(M)$ подобна пренебрежению изменениями энтропии в газодинамических ударных волнах. Последнее, как известно, приводит к точным результатам, если разрывы не слишком велики, и можно ожидать, что это же будет верно и в данном случае.

Сравнение этих упрощённых условий на разрыве для вторичной ударной волны и результатов для отражения Маха с тремя ударными волнами будет дано на рис. 8.11 (см. стр. 290). Оно подтверждает нашу точку зрения о нецелесообразности более тщательного рассмотрения данного вопроса в рамках этой приближенной теории.