Для гравитационных волн с $x h_{0} \rightarrow 0$ дисперсионное соотношение принимает вид
\[
\omega^{2} \sim g h_{0} x^{2}
\]

и фазовая скорость $c_{0}=\sqrt{g h_{0}}$ становится независимой от $x$. Дисперсионные эффекты при этом пропадают, и в одномерном случае преобразование Фурье дает
\[
\begin{aligned}
\eta & =\int_{-\infty}^{\infty} F(x) e^{i \varkappa\left(x-c_{0} t\right)} d x+\int_{-\infty}^{\infty} G(x) e^{i \varkappa\left(x+c_{0} t\right)} d x= \\
& =f\left(x-c_{0} t\right)+g\left(x+c_{0} t\right),
\end{aligned}
\]
т. е. общее решение линейного волнового уравнения
\[
\eta_{t t}-c_{0}^{2} \eta_{x x}=0
\]

Ясно, что должен существовать прямой способ вывода этого уравнения из полных уравнений, и фактически он уже был дан в более общей постановке в § 3.2. Там при изучении речных волн были учтены нелинейность и трение. Здесь мы пренебрегаем әффектами трения, но учитываем нелинейность.

Прежде всего вспомним предыдущий вывод. Ключевой момент состоит в том, что проекция уравнения сохранения импульса (13.2) на вертикаль аппроксимируется уравнением
\[
-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y}-g=0 .
\]

Тогда
\[
p-p_{0}=\rho g(\eta-y) .
\]

Проекции уравнения (13.2) на горизонтальные оси имеют вид
\[
\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+v \frac{\partial u_{i}}{\partial y}=-g \frac{\partial \eta}{\partial x_{i}}
\]
(теперь мы используем смешанные обозначения $\mathbf{u}=\left(u_{1}, u_{2}, v\right)$, $\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, y\right)$, так что $i=1,2$, и суммирование в (13.76) прово-

дится по $j=1,2$ ). Поскольку правая часть не зависит от $y$, скорость изменения $u_{i}$ вдоль траектории частицы не зависит от $y$. Поэтому, если $u_{i}$ шервоначально не зависит от $y$, то это справедливо и для всех последующих моментов времени. Будем считать, что это выполняется; тогда уравнения (13.76) записываются так:
\[
\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+g \frac{\partial \eta}{\partial x_{i}}=0 .
\]

Хотя в соотношении (13.75) мы пренебрегли вертикальным ускорением по сравнению с оставшимися членами, нет оснований пренебрегать членом $\partial v / \partial y$ в (13.1). Однако мы можем использовать проинтегрированную форму уравнения (13.1), которая должна дать уравнение сохранения
\[
\frac{\partial h}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(h u_{i}\right)=0
\]

где
\[
h=h_{0}+\eta
\]

представляет собой полную глубину от $y=-h_{0}$ у дна до $y=\eta$ у поверхности. Подробнее:
\[
\begin{aligned}
0 & =\int_{-h_{0}}^{\eta}\left\{\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial v}{\partial y}\right\} d y= \\
& =\frac{\partial}{\partial x_{i}} \int_{-h_{0}}^{\eta} u_{i} d y+[v]_{y=-h_{0}}^{y=\eta}-\left[u_{i}\right]_{y=\eta} \frac{\partial \eta}{\partial x_{i}}-\left[u_{i}\right]_{y=h_{0}} \frac{\partial h_{0}}{\partial x_{i}} ;
\end{aligned}
\]

в силу граничных условий (13.11) и (13.13), это сводится к следующему:
\[
\frac{\partial}{\partial x_{i}} \int_{-h_{0}}^{\eta} u_{i} d y+\frac{\partial \eta}{\partial t}=0 .
\]

Поскольку в этом приближении $u_{i}$ не зависит от $y$ и $\eta_{t}=h_{t}$, отсюда следует (13.78). Уравнения (13.77) и (13.78) для $\eta(\mathbf{x}, t$ ) п $\mathbf{u}(\mathbf{x}, t)$ называются уравнениями мелкой воды. (Уравнения (3.37) получаются отсюда, если (13.77) переписать в виде $g \partial \eta / \partial x=$ $=g \partial h / \partial x-g S$, где $S=\partial h_{0} / \partial x-$ уклон дна, и добавить член, описывающий трение.)

Легко оценить порядок величин в сделанном приближении. Опибка для $p$ в (13.75) имеет порядок $\rho h_{0} v_{t}$, и, в силу (13.1), $v \approx$ $\approx-h_{0} u_{x}$. Поэтому относительная опибка в (13.77) имеет порядок
\[
\frac{-p_{x}}{\rho u_{t}} \approx \frac{h_{0}^{2} u_{x x t}}{u_{t}} \approx \frac{h_{0}^{2}}{l^{2}},
\]

где $l$ – характерная длина волны в $x$-направлении. Это согласуется с приближением $\left(x h_{0}\right)^{2} \ll 1$, использованным при выводе (13.73). Таким образом, уравнения (13.77) – (13.78) дают замкнутую нелинейную систему для сравнительно мелкой воды, или, эквивалентно, для сравнительно длинных волн. Эффекты дисперсии в этом приближении отсутствуют. В следующем параграфе уравнения мелкой воды будут выведены в качестве первых членов разложений по $\left(h_{0} / l\right)^{2}$, малые дисперсионные эффекты будут включены при переходе к следующему порядку.

Линеаризованные уравнения приводят к (13.74), но, используя теорию части I, можно получить нелинейные решения, поскольку система является гиперболической. В частности, для одномерных волн над горизонтальным дном можно положить
\[
\begin{aligned}
h_{t}+(u h)_{x} & =0, \\
u_{t}+u u_{x}+g h_{x} & =0 .
\end{aligned}
\]

Характеристические скорости равны $u \pm \sqrt{g h}$, инварианты Римана равны $u \pm 2 \sqrt{g h}$, и простые волны, движущиеся вправо в невозмущенную область, где $h=h_{0}$, определяются равенствами
\[
\begin{array}{l}
h=H(\xi), \quad u=2 \sqrt{g H}-2 \sqrt{g h_{0}}, \\
x=\xi+\left\{3 \sqrt{g H(\xi)}-2 \sqrt{g h_{0}}\right\} t .
\end{array}
\]

Все такие волны, несущие возрастание уровня, опрокидываются. Поэтому приходится вводить разрывы, причем условия на разрыве, выведенные из уравнений сохранения (13.79), имеют вид
\[
\begin{array}{r}
-U[u h]+\left[u^{2} h+\frac{1}{2} g h^{2}\right]=0, \\
-U[h]+[u h]=0,
\end{array}
\]

как отмечено в (3.53) и (3.54). Это так называемая турбулентная бора.

Явление опрокидывания является одной из наиболее интригующих задач теории волн на воде. Прежде всего, когда градиенты перестают быть малыми, приближение $h_{0}^{2} / l^{2}$ перестает быть справедливым, так что решение (13.80) должно стать некорректным задолго до начала опрокидывания. Однако опрокидывание, несомненно, происходит, и при некоторых условиях оно, по-видимому, незначительно отличается от описания, заданного формулами (13.80). Более того, боры, буруны и гидравлические прыжки иногда довольно хорошо описываются соотношениями (13.81).

Но теория мелкой воды заходит слишком далеко: она предсказывает, что все волны, несущие возрастание уровня, опрокидываются. Наблюдения уже ‘давно установили, что некоторые волны

не опрокидываются. Таким образом, некорректная теория иногда оказывается верной, а иногда неверной! Нетрудно усмотреть, как отброшенные дисперсионные эффекты подавляют опрокидывание, но простые теории, частично включающие эти эффекты (см. следующий параграф), в свою очередь заходят слишком далеко и утверждают, что волны вообще не опрокидываются! Дальнейшую дискуссию мы отложим до более детального учета дисперсии. Однако до этого мы приведем некоторые результаты теории мелкой воды.
Задача о разрушении плотины
Прежде всего заметим, что классическое решение задачи о разрушении плотины не содержит боры (что весьма странно) и может
Рис. 13.3. Характеристики для задачи о разрушении плотины.

быть легко найдено при помощи теории простых волн. Начальные условия задачи записываются так:

Тогда на каждой положительной характеристике $C_{+}$, выходящей из области $h=H_{0}$ (см. рис. 13.3), инвариант Римана имеет величину
\[
u+2 \sqrt{g h}=2 \sqrt{g H_{0}} .
\]

В области, покрываемой этими характеристиками, решение имеет вид простой волны с веером характеристик $C_{-}$, проходящих через начало координат и определяемых уравнением
\[
\frac{x}{t}=u-\sqrt{g h}
\]

Но равенства (13.82) и (13.83) дают полное решение:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\sqrt{g h} & =\frac{1}{3}\left(2 \sqrt{g H_{0}}-\frac{x}{t}\right), \\
u & =\frac{2}{3}\left(\sqrt{g H_{0}}+\frac{x}{t}\right)
\end{array}\right\}-\sqrt{g H_{0}} \leqslant \frac{x}{t} \leqslant 2 \sqrt{g H_{0}} .
\]

Между фронтом $h=0, x=2 t \sqrt{g H_{0}}$, перемещающимся со скоростью $2 \sqrt{g H_{0}}$, и невозмущенным уровнем плотины $h=H_{0}$ при $x=-t \sqrt{g H_{0}}$ свободная поверхность имеет параболическую форму.

Теория мелкой воды, строго говоря, не справедлива в начальной стадии, поскольку характерная длина по горизонтали $l$ мала, но по мере развития течения величина $H_{0}^{2} / l^{2}$ становится малой и реальное течение описывается довольно хорошо. Следует отметить, что $h=4 H_{0} / 9, u=2 \sqrt{\text { gH }_{0}} / 3$ остаются постоянными в месте расположения плотины $x=0$ для всех $t>0$. Скорость фронта существенно изменяется трением; попытки оценить это изменение предприняты Дресслером [2] и Уиземом [4].
Условия на боре
Условия на боре (13.81) означают сохранение массы и импульса при переходе через бору, и естественно спросить, что происходит при этом с энергией. Закон сохранения энергии для уравнений (13.79) записывается в виде
\[
\left(\frac{1}{2} u^{2} h+\frac{1}{2} g h^{2}\right)_{t}+\left(\frac{1}{2} u^{3} h+u g h^{2}\right)_{x}=0 .
\]

Это уравнение могло бы дать дополнительно третье условие на скачке, но с системой (13.79) можно использовать только два условия. Рэлей предположил, что при переходе через бору энергия в действительности не сохраняется, и приписал потерю наблюдаемой турбулентности, так что условие на разрыве, соответствующее уравнению (13.85), учитывать не следует. Легко показать, что, хотя уравнение (13.79) влечет уравнение (13.85), однако из условия на разрыве (13.81) следует, что
\[
\left[\frac{1}{2} u^{3} h+u g h^{2}\right]_{1}^{2}-U\left[\frac{1}{2} u^{2} h+\frac{1}{2} g h^{2}\right]_{1}^{2}<0 \quad \text { при } h_{2}>h_{1} \text {. }
\]

Поскольку боры возникают только тогда, когда $h_{2}>h_{1}$, именно потеря энергии согласуется со знаком выражения (13.86). Энергия играет роль, аналогичную роли энтропии в газовой динамике; в газовой динамике вся внутренняя энергия включена в подробное описание, так что энергия сохраняется, и дополнительная переменная в описании допускает дополнительное условие на разрыве. Турбулентная энергия в (13.85) не включена.

Условия на боре (13.81) можно переписать в следующей удобной форме:
\[
\begin{array}{l}
U=u_{1}+\left\{\frac{g h_{2}\left(h_{1}+h_{2}\right)}{2 h_{1}}\right\}^{1 / 2}, \\
u_{2}=u_{1}+\frac{h_{2}-h_{1}}{h_{2}}\left\{\frac{g h_{2}\left(h_{1}+h_{2}\right)}{2 h_{1}}\right\}^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Дальнейшие законы сохранения
Интересно, что уравнения мелкой воды (13.79) допускают бесконечное число законов сохранения общего вида
\[
\frac{\partial}{\partial t} P(u, h)-\frac{\partial}{\partial x} Q(u, h)=0,
\]

необходимо лишь, чтобы выполнялись условия
\[
Q_{u}=u P_{u}+h P_{h}, \quad Q_{h}=g P_{u}+u P_{h} .
\]

Таким образом, любое решение уравнения
\[
g P_{u u}=h P_{h h}
\]

приводит к закону сохранения. Наиболее интересны полиномиальные по $u$ и $h$ решения. Их можно последовательно получить, полагая
\[
P=\sum_{m=0}^{n} p_{m}(u) h^{m}
\]

тогда
\[
\begin{aligned}
g p_{m-1}^{\prime \prime} & =m(m-1) p_{m}, \quad m=2, \ldots, n, \\
p_{0}^{\prime \prime} & =0, \quad p_{n}^{\prime \prime}=0 .
\end{aligned}
\]

Первые несколько решений имеют вид
\begin{tabular}{cc}
\hline$p$ & $Q$ \\
\hline$u$ & $\frac{1}{2} u^{2}+g h$ \\
$h$ & $u h$ \\
$u h$ & $u^{2} h+\frac{1}{2} g h^{2}$ \\
$\frac{1}{2} u^{2} h+\frac{1}{2} g h^{2}$ & $\frac{1}{2} u^{3} h+u g h^{2}$ \\
$\frac{1}{3} u^{3} h+u g h^{2}$ & $\frac{1}{3} u^{4} h+\frac{3}{2} u^{2} g h^{2}+\frac{1}{3} g^{2} h^{3}$ \\
\hline
\end{tabular}

Второе, третье и четвертое решения отвечают законам сохранения массы, импульса и энергии соответственно. Другие очевидной

интерпретации не имеют. Однако, поскольку каждое из них можно использовать для получения постоянного интеграла
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\left\{P(u, h)-P\left(0, h_{0}\right)\right\} d x=\mathrm{const},
\]

в любой задаче, для которой $u \rightarrow 0, h \rightarrow h_{0}$ на $\pm \infty$, известно бесконечное число интегралов решения. Следовательно, мы вправе ожидать, что решение можно найти аналитически. Действительно, при помощи преобразования годографа уравнения (13.79) можно перевести в линейное уравнение и в принципе решить; дальнейшее решение совпадает с анализом $\S 6.12$ при $\gamma=2$.